Use o teste da integral para determinar se a série dada é convergente ou divergente.
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{2 n+3}{\left(n^{2}+3 n\right)^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para usar o teste da integral e decidir se a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2n+3}{\bigl(n^{2}+3n\bigr)^{2}}
é convergente ou divergente.
O conteúdo usado será o teste da integral: associamos à série uma função contínua, positiva e decrescente f(x) em [1,\infty) e investigamos a convergência de
\int_{1}^{\infty}f(x)\,dx.

Passo 2

Definimos
f(x)=\frac{2x+3}{\bigl(x^{2}+3x\bigr)^{2}},\quad x\ge1.
Para aplicar o teste, precisamos de f positiva e decrescente em [1,\infty). Claramente 2x+3>0 e \bigl(x^{2}+3x\bigr)^{2}>0, então f(x)>0.
Vamos mostrar que f'(x)<0 para x\ge1. Calculamos
f'(x) =\frac{2(x^{2}+3x)^{2}-(2x+3)\cdot2(x^{2}+3x)\,(2x+3)}{(x^{2}+3x)^{4}} =\frac{-6(x^{2}+3x)\,(x^{2}+3x+3)}{(x^{2}+3x)^{4}} =-6\,\frac{x^{2}+3x+3}{(x^{2}+3x)^{3}}<0.

Passo 3

Escrevemos a integral imprópria associada:
\int_{1}^{\infty}f(x)\,dx =\int_{1}^{\infty}\frac{2x+3}{(x^{2}+3x)^{2}}\,dx.

Passo 4

Observamos que 2x+3 é a derivada de x^{2}+3x. Logo, com a substituição
u=x^{2}+3x,\quad du=(2x+3)\,dx,
temos
\int\frac{2x+3}{(x^{2}+3x)^{2}}\,dx =\int\frac{du}{u^{2}} =-\frac1u + C =-\frac1{x^{2}+3x}+C.

Passo 5

Agora avaliamos o limite impróprio:
\int_{1}^{\infty}f(x)\,dx =\lim_{b\to\infty}\Bigl[-\tfrac1{x^{2}+3x}\Bigr]_{1}^{b} =\lim_{b\to\infty}\Bigl(0-(-\tfrac1{1+3})\Bigr) =\frac1{4},
que é finito.

Passo 6

Como a integral convergiu, pelo teste da integral a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2n+3}{(n^{2}+3n)^{2}}
também converge.

Resposta

A série é convergente.

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