Use o teste da integral para determinar se a série dada é convergente ou divergente.
Passo 1
O enunciado pede para usar o teste da integral e decidir se a série
é convergente ou divergente.
O conteúdo usado será o teste da integral: associamos à série uma função contínua, positiva e decrescente em
e investigamos a convergência de
O conteúdo usado será o teste da integral: associamos à série uma função contínua, positiva e decrescente
Passo 2
Definimos
Para aplicar o teste, precisamos de
positiva e decrescente em
. Claramente
e
, então
.
Vamos mostrar que para
. Calculamos
Vamos mostrar que
Passo 3
Escrevemos a integral imprópria associada:
Passo 4
Observamos que
é a derivada de
. Logo, com a substituição
temos
Passo 5
Agora avaliamos o limite impróprio:
que é finito.
Passo 6
Como a integral convergiu, pelo teste da integral a série
também converge.
Resposta
A série é convergente.