( 1,0 ponto) Uma variável aleatória X tem distribuição de probabilidade uniforme no intervalo de -1/4 a 1/4. Calcule o Percentil 90 de X.

Passo 1

O enunciado diz que X é uma variável contínua com distribuição uniforme em \bigl[-\tfrac14,\tfrac14\bigr] e pede o percentil 90, ou seja, o valor x_{0,9} tal que 90 % das observações ficam abaixo dele. Vamos usar a definição de percentil junto com a função de distribuição acumulada da uniforme.

Passo 2

Para uma variável contínua, o percentil p é o ponto x_p que satisfaz
F(x_p)=p.
No caso da uniforme em [a,b],
F(x)=\frac{x - a}{b - a},\quad a\le x\le b.

Passo 3

Aqui temos a=-\tfrac14, b=\tfrac14 e p=0,9. Logo x_{0,9} deve resolver
\frac{x_{0,9} - \bigl(-\tfrac14\bigr)}{\tfrac14 - \bigl(-\tfrac14\bigr)}=0,9.

Passo 4

Calculamos \tfrac14 -(-\tfrac14)=\tfrac12. Assim,
\frac{x_{0,9} + \tfrac14}{\tfrac12} = 0,9 \quad\Longrightarrow\quad x_{0,9} + \tfrac14 = 0,9 \times \tfrac12 = 0,45 \quad\Longrightarrow\quad x_{0,9} = 0,45 - 0,25 = 0,20.

Resposta

O percentil 90 de X é x_{0,9}=0,20.

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