Use o teste da integral para determinar se a série dada é convergente ou divergente.
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{e^{5 n}}

Passo 1

O enunciado pede para aplicar o teste da integral na série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{e^{5n}}.
O conteúdo é séries numéricas e o teste da integral, que compara a soma de a_n=f(n) com a integral de f(x) em [1,\infty).

Passo 2

Definimos a função contínua, positiva e decrescente em [1,\infty)
f(x)=\frac{1}{e^{5x}}=e^{-5x}.
Como f'(x)=-5e^{-5x}<0, está tudo pronto para usar o teste da integral.

Passo 3

Calculamos a integral imprópria
\int_{1}^{\infty}e^{-5x}\,dx =\lim_{b\to\infty}\int_{1}^{b}e^{-5x}\,dx =\lim_{b\to\infty}\Bigl[-\tfrac{1}{5}e^{-5x}\Bigr]_{1}^{b} =\tfrac{1}{5}e^{-5}.
Como esse valor é finito, a integral converge.

Passo 4

Pelo teste da integral, se \displaystyle\int_{1}^{\infty}f(x)\,dx converge, então \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}f(n) também converge.

Resposta

A série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{e^{5n}} é convergente.

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