Use o teste da integral para determinar se as séries convergem ou divergem. Certifique-se que as condições do teste da integral sejam satisfeitas.
Passo 1
O enunciado pede para estudar a série
usando o teste da integral. Aqui o conteúdo é o teste da integral de Cauchy, que exige escolher uma função contínua, positiva e decrescente
em
tal que
para
. Note que o termo geral não está definido em
(denominação zero) e para
alguns termos são negativos, mas isso não afeta a convergência assintótica: basta descartar esses primeiros termos finitos e aplicar o teste para
. Definimos
de modo que
.
Passo 2
Verificamos que em
a função
é contínua (nenhum ponto de descontinuidade), positiva (para
o numerador e o denominador são positivos) e decrescente. Para ver a monotonia, calculemos a derivada:
Em
temos
e
, logo
. Assim
é decrescente em
.
Passo 3
Aplicamos o teste da integral:
Fazendo a divisão
temos
e, quando
,
. Portanto o integral diverge.
Passo 4
Como o integral impróprio diverge, o teste da integral garante que a série
diverge. Os termos de
a
são apenas um número finito e não afetam essa conclusão.
Resposta
A série diverge.