Use o teste da integral para determinar se as séries convergem ou divergem. Certifique-se que as condições do teste da integral sejam satisfeitas.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n-4}{n^{2}-2 n+1}

Passo 1

O enunciado pede para estudar a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n-4}{n^{2}-2n+1},
usando o teste da integral. Aqui o conteúdo é o teste da integral de Cauchy, que exige escolher uma função contínua, positiva e decrescente f(x) em [a,\infty) tal que f(n)=a_n para n\ge N. Note que o termo geral não está definido em n=1 (denominação zero) e para n=2,3,4 alguns termos são negativos, mas isso não afeta a convergência assintótica: basta descartar esses primeiros termos finitos e aplicar o teste para n\ge5. Definimos
f(x)=\frac{x-4}{(x-1)^2},
de modo que f(n)=\frac{n-4}{(n-1)^2}=\frac{n-4}{n^2-2n+1}.

Passo 2

Verificamos que em [5,\infty) a função f(x) é contínua (nenhum ponto de descontinuidade), positiva (para x>4 o numerador e o denominador são positivos) e decrescente. Para ver a monotonia, calculemos a derivada:
f'(x) =\frac{(x-1)^2\cdot1 - (x-4)\cdot2(x-1)}{(x-1)^4} =\frac{(x-1)-2(x-4)}{(x-1)^3} =\frac{-x+7}{(x-1)^3}.
Em x\ge5 temos -x+7\le2 e (x-1)^3>0, logo f'(x)<0. Assim f é decrescente em [5,\infty).

Passo 3

Aplicamos o teste da integral:
\int_{5}^{\infty}f(x)\,dx =\int_{5}^{\infty}\frac{x-4}{(x-1)^2}\,dx.
Fazendo a divisão
\frac{x-4}{(x-1)^2} =\frac{(x-1)-3}{(x-1)^2} =\frac1{x-1}-\frac3{(x-1)^2},
temos
\int_{5}^{R}\left(\frac1{x-1}-\frac3{(x-1)^2}\right)dx =\left[\ln(x-1)+\frac{3}{x-1}\right]_{5}^{R}
e, quando R\to\infty, \ln(R-1)\to\infty. Portanto o integral diverge.

Passo 4

Como o integral impróprio diverge, o teste da integral garante que a série \sum_{n=5}^{\infty}\frac{n-4}{(n-1)^2} diverge. Os termos de n=1 a 4 são apenas um número finito e não afetam essa conclusão.

Resposta

A série diverge.

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