Utilize o teste da comparação para determinar se cada uma das séries abaixo converge ou diverge.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}+27}

Passo 1

O enunciado pede para usar o teste da comparação e decidir se a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}+27}
converge ou diverge. Aqui o conteúdo é séries numéricas e, mais especificamente, o teste da comparação com uma série-p de expoente p=2.

Passo 2

Observamos que, para todo n\ge1, vale
n^{2} \le n^{2}+27 \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{n^{2}+27} \le \frac{1}{n^{2}}.
Como sabemos que a série-p
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}
converge (pois p=2>1), concluímos pela comparação direta que a série dada também converge.

Resposta

A série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}+27} converge.

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