Use o teste da integral para determinar se as séries convergem ou divergem. Certifique-se que as condições do teste da integral sejam satisfeitas.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\ln \left(n^{2}\right)}{n}

Passo 1

O enunciado pede para aplicar o teste da integral na série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\ln\bigl(n^{2}\bigr)}{n}.
O conteúdo é o teste da integral para séries positivas e decrescentes, que compara a série \sum a_n com a integral imprópria de uma função f(x) tal que f(n)=a_n. Precisamos verificar que f é contínua, positiva e decrescente a partir de algum ponto, e então avaliar
\int_{1}^{\infty} f(x)\,dx.

Passo 2

Definimos
f(x)=\frac{\ln\bigl(x^{2}\bigr)}{x}=\frac{2\ln x}{x},\quad x\ge1.
  1. f é contínua e positiva em [1,\infty) pois \ln x\ge0 para x\ge1.
  2. Para verificar que f é decrescente para x>e, calculamos
f'(x) =\frac{2\bigl(1-\ln x\bigr)}{x^{2}}.
Veja que f'(x)<0 sempre que \ln x>1, isto é, para x>e. Logo f é decrescente em [e,\infty) e podemos aplicar o teste da integral.

Passo 3

Aplicando o teste da integral, consideramos
\int_{1}^{\infty} f(x)\,dx =\int_{1}^{\infty} \frac{2\ln x}{x}\,dx.
Fazendo a substituição t=\ln x, temos dt=\frac{dx}{x} e, quando x vai de 1 a \infty, t vai de 0 a \infty. Assim
\int_{1}^{\infty} \frac{2\ln x}{x}\,dx =2\int_{0}^{\infty} t\,dt =2\bigl[\tfrac{t^{2}}{2}\bigr]_{0}^{\infty} =\lim_{T\to\infty} T^{2} =\infty.
Como a integral diverge, pelo teste da integral a série também diverge.

Resposta

A série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\ln\bigl(n^{2}\bigr)}{n}
diverge.

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