Exercício 2: Sejam x, y:[0, \infty) \rightarrow(0, \infty) funções que modelam, respectivamente, a população de uma determinada espécie que se alimenta com algum tipo de comida e a população de um de seus predadores. O modelo predador-presa de Volterra afirma que estas funções satisfazem as equações x^{\prime}(t)=a x(t)-c x(t) y(t) e y^{\prime}(t)=-b y(t)+ d x(t) y(t), a, b, c, d>0. Se considerarmos y como função de x, a igualdade \frac{d y}{d x}=y^{\prime}(t) / x^{\prime}(t) transforma o sistema de equações acima em uma equação diferencial na forma
M(x, y)+N(x, y) \frac{d y}{d x}=0
(a) Obtenha as expressões de M(x, y) e N(x, y).

Passo 1

O enunciado dá o sistema
x'(t)=a\,x(t)-c\,x(t)\,y(t)
y'(t)=-b\,y(t)+d\,x(t)\,y(t)
com constantes a,b,c,d>0. Pede-se que, considerando y como função de x e usando \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{y'(t)}{x'(t)}, se transforme o sistema numa equação da forma
M(x,y)+N(x,y)\frac{dy}{dx}=0,
e que se obtenham explicitamente as expressões de M(x,y) e N(x,y). As informações relevantes são as equações dadas e a relação \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{y'}{x'}.

Passo 2

Primeiro passo técnico: usar a relação entre derivadas em função do tempo t e a derivada dy/dx. Como x e y dependem de t,
\frac{dy}{dx}=\frac{y'(t)}{x'(t)}.
Substituindo as expressões dadas para x'(t) e y'(t) obtemos a expressão de \dfrac{dy}{dx} em termos de x e y:
\frac{dy}{dx}=\frac{-b\,y + d\,x\,y}{a\,x - c\,x\,y}.
Aqui eu apenas coloquei o numerador como y'(t) e o denominador como x'(t) e substituí as fórmulas do enunciado.

Passo 3

Agora queremos a equação no formato M(x,y)+N(x,y)\dfrac{dy}{dx}=0. Partimos da igualdade anterior e eliminamos o denominador multiplicando ambos os lados por a\,x-c\,x\,y:
(a\,x-c\,x\,y)\frac{dy}{dx} = -b\,y + d\,x\,y.
Em seguida levamos todos os termos para o mesmo lado, de modo a obter algo igual a zero:
(a\,x-c\,x\,y)\frac{dy}{dx} + b\,y - d\,x\,y = 0.

Passo 4

Comparando com a forma pedida M(x,y)+N(x,y)\dfrac{dy}{dx}=0, identificamos diretamente os termos:
M(x,y)=b\,y - d\,x\,y,
N(x,y)=a\,x - c\,x\,y.
Podemos também escrever essas expressões fatoradas para ficar mais claro o papel de x e y:
M(x,y)=y\,(b - d\,x),
N(x,y)=x\,(a - c\,y).

Resposta

M(x,y)=b\,y - d\,x\,y = y\,(b-d\,x)
N(x,y)=a\,x - c\,x\,y = x\,(a-c\,y)

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