Exercício 2: Sejam
funções que modelam, respectivamente, a população de uma determinada espécie que se alimenta com algum tipo de comida e a população de um de seus predadores. O modelo predador-presa de Volterra afirma que estas funções satisfazem as equações
e
. Se considerarmos
como função de
, a igualdade
transforma o sistema de equações acima em uma equação diferencial na forma
(a) Obtenha as expressões de
e
.
Passo 1
O enunciado dá o sistema
com constantes
. Pede-se que, considerando
como função de
e usando
, se transforme o sistema numa equação da forma
e que se obtenham explicitamente as expressões de
e
. As informações relevantes são as equações dadas e a relação
.
Passo 2
Primeiro passo técnico: usar a relação entre derivadas em função do tempo
e a derivada
. Como
e
dependem de
,
Substituindo as expressões dadas para
e
obtemos a expressão de
em termos de
e
:
Aqui eu apenas coloquei o numerador como
e o denominador como
e substituí as fórmulas do enunciado.
Passo 3
Agora queremos a equação no formato
. Partimos da igualdade anterior e eliminamos o denominador multiplicando ambos os lados por
:
Em seguida levamos todos os termos para o mesmo lado, de modo a obter algo igual a zero:
Passo 4
Comparando com a forma pedida
, identificamos diretamente os termos:
Podemos também escrever essas expressões fatoradas para ficar mais claro o papel de
e
: