Use o teste da raiz para determinar a convergência da série.
\frac{1}{(\ln 3)^{3}}+\frac{1}{(\ln 4)^{4}}+\frac{1}{(\ln 5)^{5}}+\frac{1}{(\ln 6)^{6}}+\ldots

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
\sum_{n=3}^{\infty}\frac{1}{(\ln n)^{n}}
usando o teste da raiz (Cauchy). Vamos identificar o termo geral e calcular \displaystyle \rho = \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}.

Passo 2

O termo geral é
a_n = \frac{1}{(\ln n)^{n}}.
Aplicando o teste da raiz, temos
\sqrt[n]{|a_n|} = \sqrt[n]{\frac{1}{(\ln n)^{n}}} = \frac{1}{\ln n}.
Agora avaliamos o limite:
\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\ln n} = 0.

Passo 3

Como o valor \displaystyle \rho = 0
satisfaz \rho<1, pelo teste da raiz a série converge absolutamente.

Resposta

A série converge absolutamente pelo teste da raiz.

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