Use o teste da raiz para determinar a convergência da série.
\sum_{n=1}^{+\infty}(2 \sqrt[n]{n}+1)^{n}

Passo 1

O enunciado pede para analisar a série
\sum_{n=1}^{\infty}a_n
com
a_n = \bigl(2 \sqrt[n]{n} + 1\bigr)^{n}
usando o teste da raiz, que diz:
– Seja
L = \limsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{\lvert a_n\rvert}.
– Se L<1, a série converge absolutamente.
– Se L>1, a série diverge.
– Se L=1, o teste é inconclusivo.

Passo 2

Calculamos
\sqrt[n]{a_n} = \sqrt[n]{\bigl(2 \sqrt[n]{n} + 1\bigr)^{n}} = 2 \sqrt[n]{n} + 1.

Passo 3

Avaliamo o limite de \sqrt[n]{a_n}
quando n\to\infty. Como
\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n}=1,
temos
L = \lim_{n\to\infty}\bigl(2 \sqrt[n]{n} + 1\bigr) = 2\cdot1 + 1 = 3.

Passo 4

Como L=3>1, pelo teste da raiz a série diverge.

Resposta

A série diverge.

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