Use o teste da raiz para determinar a convergência da série.
1+\frac{2}{3}+\frac{3}{3^{2}}+\frac{4}{3^{3}}+\frac{5}{3^{4}}+\ldots

Passo 1

O enunciado apresenta a série
1 + \frac{2}{3} + \frac{3}{3^{2}} + \frac{4}{3^{3}} + \cdots
que podemos escrever, indexando a partir de n=0, como
\sum_{n=0}^{\infty} a_{n},\quad a_{n} = \frac{n+1}{3^{n}}.
O conteúdo é séries numéricas e o que vamos usar é o teste da raiz para determinar a convergência.

Passo 2

O teste da raiz diz que, para a série \sum a_{n}, definimos
L = \limsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{\bigl|a_{n}\bigr|}.
Se L<1, a série converge absolutamente; se L>1, diverge; se L=1, o teste é inconclusivo.

Passo 3

Aqui temos a_{n} = (n+1)/3^{n}. Então
\sqrt[n]{\bigl|a_{n}\bigr|} = \sqrt[n]{\frac{n+1}{3^{n}}} = \frac{\sqrt[n]{\,n+1\,}}{3}.

Passo 4

Como \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n+1}=1, obtemos
L = \lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt[n]{n+1}}{3} = \frac{1}{3} < 1.
Pelo teste da raiz, a série converge absolutamente e, portanto, converge.

Resposta

A série converge.

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