Use o teste da raiz para determinar a convergência da série.
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{n}{5^{n}}

Passo 1

O enunciado pede para usar o teste da raiz na série
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{n}{5^{n}}.
O conteúdo envolvido é o critério de convergência pela raiz n-ésima, que diz: para a_n\ge0, se
L = \lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{a_n}
então a série converge se L<1 e diverge se L>1.

Passo 2

Aplicando ao termo a_n = \tfrac{n}{5^n}, temos
\sqrt[n]{a_n} = \sqrt[n]{\frac{n}{5^n}} = \frac{\sqrt[n]{n}}{5}.
Como \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n}=1, segue
L = \lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt[n]{n}}{5} = \frac{1}{5}.

Passo 3

Como L=\tfrac{1}{5}<1, o teste da raiz garante que a série converge absolutamente e, portanto, converge.

Resposta

A série \sum_{n=1}^{+\infty}\tfrac{n}{5^n} converge.

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