Use o teste da raiz para determinar a convergência da série.
\sum_{n=1}^{+\infty}\left(1-e^{-n}\right)^{n}

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(1-e^{-n})^{n}
usando o teste da raiz (critérios de Cauchy) e, se necessário, o teste da divergência (termo geral).

Passo 2

Aplicar o teste da raiz, calculando
\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\bigl|(1-e^{-n})^{n}\bigr|}
Como (1-e^{-n})^{n}\ge0, temos
\sqrt[n]{(1-e^{-n})^{n}} \;=\; 1 - e^{-n}.

Passo 3

Avaliar o limite
\lim_{n\to\infty}(1-e^{-n}) \;=\; 1 - 0 \;=\; 1.
No teste da raiz, se L<1 a série converge e se L>1 diverge; aqui L=1 é inconclusivo.

Passo 4

Verificar o termo geral para usar o teste da divergência. Calculemos
\lim_{n\to\infty}(1-e^{-n})^{n} =\exp\bigl(\lim_{n\to\infty}n\ln(1-e^{-n})\bigr).
Como \ln(1-e^{-n})=-e^{-n}+o(e^{-n}), segue
n\ln(1-e^{-n})\sim -n\,e^{-n}\to 0,
portanto
\lim_{n\to\infty}(1-e^{-n})^{n} = e^{0} = 1 \neq 0.
Como o termo geral não tende a zero, a série diverge.

Resposta

A série diverge.

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