Use o teste da raiz para determinar a convergência da série.
\sum_{n=1}^{+\infty}\left(\frac{5 n-2}{2 n+1}\right)^{n}

Passo 1

O enunciado pede para testar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{5n-2}{2n+1}\right)^{n}
usando o teste da raiz. Nesse teste, calculamos
L = \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\bigl|a_{n}\bigr|}
onde a_{n} = \bigl((5n-2)/(2n+1)\bigr)^{n}. Se L<1 a série converge, se L>1 diverge, e se L=1 o teste é inconclusivo.

Passo 2

Vamos calcular
L = \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left|\left(\frac{5n-2}{2n+1}\right)^{n}\right|} = \lim_{n\to\infty}\frac{5n-2}{2n+1}.
Para esse quociente de polinômios de mesmo grau, basta tomar os coeficientes dominantes:
\lim_{n\to\infty}\frac{5n-2}{2n+1} = \frac{5}{2}.

Passo 3

Como
L = \frac{5}{2} > 1,
o teste da raiz garante que a série diverge.

Resposta

A série diverge.

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