Use o teste da raiz para determinar a convergência da série.
Passo 1
O enunciado pede para investigar a convergência da série
usando o teste da raiz. O conteúdo principal aqui é séries numéricas e, em especial, o critério da raiz de Cauchy, que consiste em analisar
.
Passo 2
Seja
Pelo teste da raiz, definimos
As regras do teste são:
– Se , a série converge absolutamente.
– Se , diverge.
– Se , o teste é inconclusivo.
– Se
– Se
– Se
Passo 3
Calculemos a raiz n-ésima de
:
Passo 4
Agora avaliamos o limite dessa expressão quando
:
Passo 5
Como
, o teste da raiz garante que a série converge absolutamente. Logo, a série original converge.
Resposta
A série
converge absolutamente e, portanto, converge.