Use o teste da raiz para determinar a convergência da série.
\sum_{n=1}^{+\infty}\left(\frac{3 n}{n+1}\right)^{n}

Passo 1

O enunciado pede para usar o teste da raiz na série
\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl(\frac{3n}{n+1}\Bigr)^{n}.
O conteúdo aqui é o teste da raiz, que analisa o comportamento de \sqrt[n]{a_n} para decidir convergência.

Passo 2

O teste da raiz diz que, para a_n\ge0, se
L = \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n},
então:
- se L<1, a série converge;
- se L>1, a série diverge;
- se L=1, o teste é inconclusivo.

Passo 3

No nosso caso
a_n = \Bigl(\frac{3n}{n+1}\Bigr)^{n},
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\sqrt[n]{a_n} = \sqrt[n]{\Bigl(\tfrac{3n}{n+1}\Bigr)^{n}} = \frac{3n}{n+1}.
Agora calculamos o limite dessa expressão quando n\to\infty:
\lim_{n\to\infty}\frac{3n}{n+1} = \lim_{n\to\infty}3\cdot\frac{n}{n+1} = 3\cdot1 = 3.

Passo 4

Como o resultado do teste da raiz é
L = 3 > 1,
concluímos que a série diverge.

Resposta

A série diverge pelo teste da raiz.

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