Use o teste da raiz para determinar a convergência da série.
\sum_{n=1}^{+\infty}(\sqrt[n]{n}-1)^{n}

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty}(\sqrt[n]{n}-1)^{n}
usando o teste da raiz. Nesse teste, definimos a_n=(\sqrt[n]{n}-1)^n e calculamos
L=\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}.

Passo 2

Como a_n\ge0, temos
\sqrt[n]{|a_n|}=\sqrt[n]{(\sqrt[n]{n}-1)^n}=\sqrt[n]{n}-1.

Passo 3

Para avaliar
L=\lim_{n\to\infty}(\sqrt[n]{n}-1),
observamos que
\sqrt[n]{n}=e^{\frac{\ln n}{n}}
e como \frac{\ln n}{n}\to0 quando n\to\infty, segue
\lim_{n\to\infty}e^{\frac{\ln n}{n}}=1 \quad\Longrightarrow\quad \lim_{n\to\infty}(\sqrt[n]{n}-1)=0.

Passo 4

O valor L=0 é estritamente menor que 1. Pelo teste da raiz, a série converge absolutamente e, portanto, converge.

Resposta

A série converge absolutamente e, consequentemente, converge.

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