- Use o teste da raiz para determinar se a série é convergente, divergente ou se o teste é inconclusivo.
a)
Passo 1
O enunciado pede para usar o teste da raiz e decidir se a série
é convergente, divergente ou se o teste é inconclusivo. Informações dadas e observações imediatas:
- O termo geral da série é
. - Todos os termos são não negativos (
para todo ). - Vou aplicar o teste da raiz diretamente a essa sequência de termos.
Passo 2
Vou explicar o teste da raiz (de forma simples e prática):
- Para uma série
(com reais), define-se
- Regras do teste:
- Se
, a série converge absolutamente (logo converge). - Se
, a série diverge. - Se
, o teste é inconclusivo (não dá informação).
- Se
- No caso em que
tem limite (não só limsup), podemos usar esse limite no lugar de . Aqui, por causa da forma de , o limite existe e é mais simples de calcular.
Passo 3
Calcular a
-ésima raiz do termo geral. Para
,
Como
, obtemos
Passo 4
Calcular o limite da sequência das raízes:
Sabemos que
quando
porque o denominador cresce sem limite, fazendo a fração ficar cada vez menor. Portanto
Passo 5
Aplicar a conclusão do teste da raiz: como o limite
satisfaz
, pelo teste da raiz a série
converge absolutamente. Logo a série é convergente.
Resposta
Convergente (convergência absoluta)