1. Use o teste da raiz para determinar se a série é convergente, divergente ou se o teste é inconclusivo.
a) \quad \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^{n}}

Passo 1

O enunciado pede para usar o teste da raiz e decidir se a série
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^{n}}
é convergente, divergente ou se o teste é inconclusivo. Informações dadas e observações imediatas:
  • O termo geral da série é a_n=\dfrac{1}{n^{n}}.
  • Todos os termos são não negativos ( a_n\ge 0 para todo n).
  • Vou aplicar o teste da raiz diretamente a essa sequência de termos.

Passo 2

Vou explicar o teste da raiz (de forma simples e prática):
  • Para uma série \sum a_n (com a_n reais), define-se
L=\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}.
  • Regras do teste:
    • Se L<1, a série converge absolutamente (logo converge).
    • Se L>1, a série diverge.
    • Se L=1, o teste é inconclusivo (não dá informação).
  • No caso em que \sqrt[n]{|a_n|} tem limite (não só limsup), podemos usar esse limite no lugar de L. Aqui, por causa da forma de a_n, o limite existe e é mais simples de calcular.

Passo 3

Calcular a n-ésima raiz do termo geral. Para a_n=\dfrac{1}{n^{n}},
\sqrt[n]{a_n}=\left(\frac{1}{n^{n}}\right)^{1/n}=\frac{1}{(n^{n})^{1/n}}.
Como (n^{n})^{1/n}=n^{n\cdot(1/n)}=n^{1}=n, obtemos
\sqrt[n]{a_n}=\frac{1}{n}.

Passo 4

Calcular o limite da sequência das raízes:
\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}.
Sabemos que \dfrac{1}{n}\to 0 quando n\to\infty porque o denominador cresce sem limite, fazendo a fração ficar cada vez menor. Portanto
L=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=0.

Passo 5

Aplicar a conclusão do teste da raiz: como o limite L satisfaz L=0<1, pelo teste da raiz a série \sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{n^{n}} converge absolutamente. Logo a série é convergente.

Resposta

Convergente (convergência absoluta)

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