Questão 13:
Suponha que y_{1} e y_{2} formem um conjunto fundamental de soluções para y^{\prime \prime}+p(x) y^{\prime}+q(x) y=0 e sejam y_{3}=a_{1} y_{1}+a_{2} y_{2}, y_{4}=b_{1} y_{1}+b_{2} y_{2}, em que a_{1}, a_{2}, b_{1} e b_{2} são constantes arbitrárias. Mostre que W\left[y_{3}, y_{4}\right]=\left(a_{1} b_{2}-a_{2} b_{1}\right) W\left[y_{1}, y_{2}\right]. y_{3} e y_{4} também formam um conjunto fundamental de soluções? Por quê?

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações e pede duas coisas claras:
  • Informações dadas:
    • \,y_{1} e \,y_{2} formam um conjunto fundamental de soluções da equação \,y''+p(x)y'+q(x)y=0.
    • Define-se \,y_{3}=a_{1}y_{1}+a_{2}y_{2} e \,y_{4}=b_{1}y_{1}+b_{2}y_{2}, onde a_{1},a_{2},b_{1},b_{2} são constantes arbitrárias.
  • O que é pedido:
    1. Mostrar que \,W[y_{3},y_{4}]=(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})\,W[y_{1},y_{2}].
    2. Dizer se \,y_{3} e \,y_{4} também formam um conjunto fundamental de soluções e justificar o porquê.

Passo 2

Vou explicar o que é o Wronskiano e por que ele importa (para você usar na prova):
  • Definição do Wronskiano para duas funções u e v:
W[u,v](x)=\det\begin{pmatrix} u(x) & v(x)\\\ u'(x) & v'(x)\end{pmatrix} = u(x)\,v'(x)-u'(x)\,v(x).
  • Interpretação prática que vamos usar: se W[y_{1},y_{2}](x_{0})\neq 0 para algum ponto x_{0} no intervalo, então y_{1} e y_{2} são linearmente independentes nesse intervalo. Como \,y_{1} e \,y_{2} formam um conjunto fundamental, sabemos que \,W[y_{1},y_{2}](x) não é identicamente zero (na prática costuma ser não nulo em todo o intervalo considerado).
  • Observação útil para a prova: o Wronskiano é multilinear nas colunas (isto é, linear em cada solução que aparece como coluna), e mudanças lineares nas colunas trazem um fator igual ao determinante da matriz de transformação. Vou demonstrar isso diretamente por conta das regras da prova (expansão direta e fatoração).

Passo 3

Calcular W[y_{3},y_{4}] escrevendo primeiro as derivadas:
  • As derivadas de \,y_{3} e \,y_{4} são
y_{3}'=a_{1}y_{1}'+a_{2}y_{2}',\qquad y_{4}'=b_{1}y_{1}'+b_{2}y_{2}'.
  • Agora escrevemos a definição do Wronskiano e substituímos:
W[y_{3},y_{4}] = y_{3}\,y_{4}' - y_{3}'\,y_{4}.
Substituindo as expressões:
W[y_{3},y_{4}] = (a_{1}y_{1}+a_{2}y_{2})(b_{1}y_{1}'+b_{2}y_{2}') - (a_{1}y_{1}'+a_{2}y_{2}')(b_{1}y_{1}+b_{2}y_{2}).

Passo 4

Expandir os produtos termo a termo, com calma (não pule etapa):
  • Expandindo o primeiro produto:
(a_{1}y_{1}+a_{2}y_{2})(b_{1}y_{1}'+b_{2}y_{2}') = a_{1}b_{1}y_{1}y_{1}'+a_{1}b_{2}y_{1}y_{2}'+a_{2}b_{1}y_{2}y_{1}'+a_{2}b_{2}y_{2}y_{2}'.
  • Expandindo o segundo produto:
(a_{1}y_{1}'+a_{2}y_{2}')(b_{1}y_{1}+b_{2}y_{2}) = a_{1}b_{1}y_{1}'y_{1}+a_{1}b_{2}y_{1}'y_{2}+a_{2}b_{1}y_{2}'y_{1}+a_{2}b_{2}y_{2}'y_{2}.
  • Subtraindo (primeiro menos segundo) e observando que y_{1}y_{1}'-y_{1}'y_{1}=0 e y_{2}y_{2}'-y_{2}'y_{2}=0, os termos com a_{1}b_{1} e a_{2}b_{2} se cancelam. Restam os termos mistos:
W[y_{3},y_{4}] = a_{1}b_{2}(y_{1}y_{2}'-y_{1}'y_{2}) + a_{2}b_{1}(y_{2}y_{1}'-y_{2}'y_{1}).
  • Note que y_{2}y_{1}'-y_{2}'y_{1}=-(y_{1}y_{2}'-y_{1}'y_{2}). Usando isso:
W[y_{3},y_{4}] = a_{1}b_{2}\,W[y_{1},y_{2}] - a_{2}b_{1}\,W[y_{1},y_{2}].
  • Fatorando W[y_{1},y_{2}]:
W[y_{3},y_{4}]=(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})\,W[y_{1},y_{2}].
Isto é exatamente a identidade que tínhamos que mostrar.

Passo 5

Interpretação final e resposta à segunda pergunta (se formam conjunto fundamental):
  • O fator \,a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1} é o determinante da matriz de coeficientes
\begin{pmatrix} a_{1} & a_{2}\\\ b_{1} & b_{2}\end{pmatrix}.
  • Como \,y_{1} e \,y_{2} formam um conjunto fundamental, \,W[y_{1},y_{2}] não é identicamente zero. Portanto:
    • Se \,a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}\neq 0, então \,W[y_{3},y_{4}]\neq 0 e assim \,y_{3} e \,y_{4} são linearmente independentes — logo formam também um conjunto fundamental de soluções.
    • Se \,a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}=0, então \,W[y_{3},y_{4}]=0 identicamente, o que significa que \,y_{3} e \,y_{4} são linearmente dependentes e, portanto, não formam um conjunto fundamental.
  • Intuição rápida que pode salvar tempo na prova: combinar soluções por uma matriz com determinante não nulo preserva independência linear; se a matriz de combinações tem determinante zero, as novas combinações ficam dependentes.

Resposta

W[y_{3},y_{4}]=(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})\,W[y_{1},y_{2}].
y_{3} e y_{4} formam um conjunto fundamental de soluções se, e somente se, a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}\neq 0.

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