Questão 13:
Suponha que
e
formem um conjunto fundamental de soluções para
e sejam
, em que
e
são constantes arbitrárias. Mostre que
.
e
também formam um conjunto fundamental de soluções? Por quê?
Suponha que
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações e pede duas coisas claras:
- Informações dadas:
-
e formam um conjunto fundamental de soluções da equação . - Define-se
e , onde são constantes arbitrárias.
-
- O que é pedido:
- Mostrar que
. - Dizer se
e também formam um conjunto fundamental de soluções e justificar o porquê.
- Mostrar que
Passo 2
Vou explicar o que é o Wronskiano e por que ele importa (para você usar na prova):
- Definição do Wronskiano para duas funções
e :
- Interpretação prática que vamos usar: se
para algum ponto no intervalo, então e são linearmente independentes nesse intervalo. Como e formam um conjunto fundamental, sabemos que não é identicamente zero (na prática costuma ser não nulo em todo o intervalo considerado). - Observação útil para a prova: o Wronskiano é multilinear nas colunas (isto é, linear em cada solução que aparece como coluna), e mudanças lineares nas colunas trazem um fator igual ao determinante da matriz de transformação. Vou demonstrar isso diretamente por conta das regras da prova (expansão direta e fatoração).
Passo 3
Calcular
escrevendo primeiro as derivadas:
- As derivadas de
e são
- Agora escrevemos a definição do Wronskiano e substituímos:
Substituindo as expressões:
Passo 4
Expandir os produtos termo a termo, com calma (não pule etapa):
- Expandindo o primeiro produto:
- Expandindo o segundo produto:
- Subtraindo (primeiro menos segundo) e observando que
e , os termos com e se cancelam. Restam os termos mistos:
- Note que
. Usando isso:
- Fatorando
:
Isto é exatamente a identidade que tínhamos que mostrar.
Passo 5
Interpretação final e resposta à segunda pergunta (se formam conjunto fundamental):
- O fator
é o determinante da matriz de coeficientes
-
Como
e formam um conjunto fundamental, não é identicamente zero. Portanto: - Se
, então e assim e são linearmente independentes — logo formam também um conjunto fundamental de soluções. - Se
, então identicamente, o que significa que e são linearmente dependentes e, portanto, não formam um conjunto fundamental.
- Se
-
Intuição rápida que pode salvar tempo na prova: combinar soluções por uma matriz com determinante não nulo preserva independência linear; se a matriz de combinações tem determinante zero, as novas combinações ficam dependentes.