Questāo 14:
O movimento de uma partícula no plano é regido pelo sistema de equações
\left\{\begin{array}{l} \frac{d x}{d t}=2 y \\\ \frac{d y}{d t}=-x \end{array}\right.
Suponha que no instante t=0 a partícula encontra-se na posição (1,1), isto é, x(0)=1 e y(0)=1. Determine as funções x(t) e y(t), eliminando uma das variáveis para obter uma equação diferencial linear de segunda ordem para a outra variável, resolvendo o problema de valor inicial correspondente.

Passo 1

O enunciado fornece o sistema de equações diferenciais e as condições iniciais:
\begin{cases} \displaystyle \frac{dx}{dt}=2y,\\[6pt] \displaystyle \frac{dy}{dt}=-x, \end{cases} \qquad\text{com}\qquad x(0)=1,\; y(0)=1.
O que se pede: determinar explicitamente as funções x(t) e y(t) que satisfazem o sistema e as condições iniciais.]

Passo 2

Eliminar uma variável para obter uma equação diferencial de segunda ordem para a outra (a partir de uma equação do sistema). Vou derivar em relação a t a primeira equação e usar a segunda para substituir:
Derivando \displaystyle \frac{dx}{dt}=2y em relação a t (regra da cadeia):
\frac{d^2 x}{dt^2}=2\frac{dy}{dt}.
Agora uso a segunda equação do sistema, que dá \displaystyle \frac{dy}{dt}=-x. Substituindo:
\frac{d^2 x}{dt^2}=2(-x)=-2x.
Reorganizando, obtemos a equação diferencial linear de segunda ordem para x:
\frac{d^2 x}{dt^2}+2x=0.

Passo 3

Vamos extrair as condições iniciais para essa equação de segunda ordem. Já temos \,x(0)=1. Precisamos de \displaystyle x'(0). Da primeira equação do sistema:
x'(t)=2y(t).
Portanto, avaliando em t=0 e usando y(0)=1,
x'(0)=2\cdot y(0)=2\cdot 1=2.
Assim o problema de valor inicial para x é
\frac{d^2 x}{dt^2}+2x=0,\qquad x(0)=1,\; x'(0)=2.

Passo 4

Resolver a equação homogênea com coeficientes constantes. A equação característica associada é
r^2+2=0.
As raízes são
r=\pm i\sqrt{2}.
Para raízes puramente imaginárias \pm i\omega a solução geral é combinação de cosseno e seno com \omega=\sqrt{2}. Logo a solução geral para x(t) é
x(t)=A\cos\big(\sqrt{2}\,t\big)+B\sin\big(\sqrt{2}\,t\big),
onde A e B são constantes a determinar pelas condições iniciais.

Passo 5

Determinar A e B aplicando as condições iniciais.
Primeiro, x(0)=1
x(0)=A\cos 0 + B\sin 0 = A\cdot 1 + B\cdot 0 = A,
portanto A=1.
Agora calculo x'(t) para usar x'(0)=2. Derivando x(t):
x'(t)=-A\sqrt{2}\,\sin\big(\sqrt{2}\,t\big)+B\sqrt{2}\,\cos\big(\sqrt{2}\,t\big).
Avalio em t=0:
x'(0)=-A\sqrt{2}\cdot 0 + B\sqrt{2}\cdot 1 = B\sqrt{2}.
Mas sabemos x'(0)=2, então
B\sqrt{2}=2 \quad\Rightarrow\quad B=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}.

Passo 6

Escrevo a solução encontrada para x(t) com os valores de A e B:
x(t)=\cos\big(\sqrt{2}\,t\big)+\sqrt{2}\,\sin\big(\sqrt{2}\,t\big).
Agora obtenho y(t) usando a relação do sistema \,x'(t)=2y(t), isto é
y(t)=\frac{x'(t)}{2}.
Já calculei x'(t) na etapa anterior; substituindo A=1 e B=\sqrt{2} em
x'(t)=-\sqrt{2}\,\sin\big(\sqrt{2}\,t\big)+\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}\,\cos\big(\sqrt{2}\,t\big),
observe que \sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=2, então
x'(t)=-\sqrt{2}\,\sin\big(\sqrt{2}\,t\big)+2\cos\big(\sqrt{2}\,t\big).
Dividindo por 2:
y(t)=\frac{x'(t)}{2}=\cos\big(\sqrt{2}\,t\big)-\frac{\sqrt{2}}{2}\,\sin\big(\sqrt{2}\,t\big).
Pode-se notar que \dfrac{\sqrt{2}}{2}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}, então equivalente:
y(t)=\cos\big(\sqrt{2}\,t\big)-\frac{1}{\sqrt{2}}\,\sin\big(\sqrt{2}\,t\big).
Verificação rápida dos iniciais: em t=0 tem-se x(0)=1 e y(0)=\cos 0 -\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot 0=1, conferindo com as condições dadas.

Resposta

x(t)=\cos\big(\sqrt{2}\,t\big)+\sqrt{2}\,\sin\big(\sqrt{2}\,t\big)
y(t)=\cos\big(\sqrt{2}\,t\big)-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\,\sin\big(\sqrt{2}\,t\big)

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