Questāo 14:
O movimento de uma partícula no plano é regido pelo sistema de equações
\left\{\begin{array}{l} \frac{d x}{d t}=2 y \\\ \frac{d y}{d t}=-x \end{array}\right.
Suponha que no instante t=0 a partícula encontra-se na posição (1,1), isto é, x(0)=1 e y(0)=1. Determine as funções x(t) e y(t), eliminando uma das variáveis para obter uma equação diferencial linear de segunda ordem para a outra variável, resolvendo o problema de valor inicial correspondente.
Passo 1
O enunciado fornece o sistema de equações diferenciais e as condições iniciais:
O que se pede: determinar explicitamente as funções x(t) e y(t) que satisfazem o sistema e as condições iniciais.]
Passo 2
Eliminar uma variável para obter uma equação diferencial de segunda ordem para a outra (a partir de uma equação do sistema). Vou derivar em relação a t a primeira equação e usar a segunda para substituir:
Derivando \displaystyle \frac{dx}{dt}=2y em relação a t (regra da cadeia):
\frac{d^2 x}{dt^2}=2\frac{dy}{dt}.
Agora uso a segunda equação do sistema, que dá \displaystyle \frac{dy}{dt}=-x. Substituindo:
\frac{d^2 x}{dt^2}=2(-x)=-2x.
Reorganizando, obtemos a equação diferencial linear de segunda ordem para x:
\frac{d^2 x}{dt^2}+2x=0.
Passo 3
Vamos extrair as condições iniciais para essa equação de segunda ordem. Já temos \,x(0)=1. Precisamos de \displaystyle x'(0). Da primeira equação do sistema:
x'(t)=2y(t).
Portanto, avaliando em t=0 e usando y(0)=1,
x'(0)=2\cdot y(0)=2\cdot 1=2.
Assim o problema de valor inicial para x é
\frac{d^2 x}{dt^2}+2x=0,\qquad x(0)=1,\; x'(0)=2.
Passo 4
Resolver a equação homogênea com coeficientes constantes. A equação característica associada é
r^2+2=0.
As raízes são
r=\pm i\sqrt{2}.
Para raízes puramente imaginárias \pm i\omega a solução geral é combinação de cosseno e seno com \omega=\sqrt{2}. Logo a solução geral para x(t) é