Use o Teste da Raiz para determinar quais das séries convergem e quais divergem:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{n}}{\left(2^{n}\right)^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para usar o Teste da Raiz na série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{n}}{\bigl(2^{n}\bigr)^{2}}
O conteúdo principal é o Teste da Raiz, que exige calcular
L = \limsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{a_n},
onde a_n é o n-ésimo termo da série. Lembrando que, se L<1 a série converge absolutamente; se L>1 diverge; se L=1 o teste é inconclusivo.

Passo 2

Identificamos o termo geral
a_n = \frac{n^{n}}{\bigl(2^{n}\bigr)^{2}} = \frac{n^{n}}{4^{n}}.
Para aplicar o Teste da Raiz, calculamos
\sqrt[n]{a_n} = \sqrt[n]{\frac{n^{n}}{4^{n}}} = \frac{\sqrt[n]{n^{n}}}{\sqrt[n]{4^{n}}} = \frac{n}{4}.

Passo 3

Agora avaliamos o limite superior (que aqui coincide com o limite simples):
L = \lim_{n\to\infty} \frac{n}{4} = +\infty.
Como L>1, o Teste da Raiz conclui que a série diverge.

Resposta

A série diverge pelo Teste da Raiz.

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