Use o Teste da Raiz para determinar quais das séries convergem e quais divergem:
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{n}{(\ln n)^{\frac{n}{2}}}

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{n}{(\ln n)^{\tfrac{n}{2}}}
utilizando o Teste da Raiz, que nos diz o seguinte: para a_n\in\mathbb{R}, definimos
L = \limsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{\lvert a_n\rvert}\,.
Se L<1, a série converge absolutamente; se L>1, diverge; se L=1, o teste é inconclusivo.

Passo 2

Aqui temos
a_n = \frac{n}{(\ln n)^{\tfrac{n}{2}}}\,,
logo precisamos calcular
\sqrt[n]{\lvert a_n\rvert} = \sqrt[n]{n}\;\Bigl((\ln n)^{\tfrac{n}{2}}\Bigr)^{-\tfrac{1}{n}} = n^{\tfrac{1}{n}}\;(\ln n)^{-\tfrac12}\,.

Passo 3

Agora avaliamos o limite quando n\to\infty. Sabemos que
\lim_{n\to\infty} n^{\tfrac{1}{n}} = 1 \qquad\text{e}\qquad \lim_{n\to\infty} (\ln n)^{\tfrac12} = +\infty.
Portanto,
\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{\lvert a_n\rvert} = \frac{1}{+\infty} = 0.
Assim,
L = 0 < 1.

Passo 4

Como o valor L do Teste da Raiz é menor que 1, concluímos que a série converge absolutamente, e portanto converge.

Resposta

A série \sum_{n=2}^{\infty} \frac{n}{(\ln n)^{n/2}} converge.

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