Quais das séries convergem absolutamente, quais convergem condicionalmente e quais divergem? Justifique suas respostas.
\sum_{n=2}^{\infty}(-1)^{n} \frac{1}{n \ln n}

Passo 1

Estamos estudando a série
\sum_{n=2}^{\infty}(-1)^{n}\,\frac{1}{n\ln n}.
O conteúdo envolvido é:
– Teste de convergência absoluta (analisando \sum|a_n|).
– Teste de convergência de série alternante (Leibniz).

Passo 2

Para verificar a convergência absoluta consideramos
\sum_{n=2}^{\infty}\biggl|\frac{(-1)^{n}}{n\ln n}\biggr| =\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n\ln n}.
Aplicamos o teste da integral:
\int_{2}^{\infty}\frac{dx}{x\ln x} =\bigl[\ln(\ln x)\bigr]_{2}^{\infty} =\lim_{t\to\infty}\ln(\ln t)-\ln(\ln 2)=\infty.
Como a integral diverge, a série \sum1/(n\ln n) também diverge. Logo, não há convergência absoluta.

Passo 3

Agora aplicamos o teste de Leibniz à série alternante original:
definimos b_n=\tfrac{1}{n\ln n}.
  1. Temos b_n>0 para n\ge2.
  2. Mostramos que b_n\to0. De fato, \lim_{n\to\infty}1/(n\ln n)=0.
  3. Verificamos que b_n é decrescente para n\ge2: a função
f(x)=\frac{1}{x\ln x}
tem derivada
f'(x) =-\frac{\ln x+1}{(x\ln x)^{2}}<0\quad\text{para }x>e,
então b_n decresce a partir de n=3.
Pelas condições do teste de Leibniz, a série alternante converge.

Resposta

A série diverge absolutamente e converge condicionalmente.

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