Use o Teste da Raiz para determinar se as séries a seguir convergem absolutamente, convergem condicionalmente ou divergem.
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{3 n+2}{2 n-1}\right)^{n}

Passo 1

O enunciado pede para aplicar o Teste da Raiz na série
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{3n+2}{2n-1}\right)^{n}
para determinar se ela converge absolutamente, converge condicionalmente ou diverge. O Teste da Raiz diz que, definindo
L = \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\bigl|a_n\bigr|},
se L<1 a série converge absolutamente, se L>1 ela diverge, e se L=1 o teste é inconclusivo.

Passo 2

Aqui a_n=\bigl(\tfrac{3n+2}{2n-1}\bigr)^n. Vamos calcular
\sqrt[n]{\bigl|a_n\bigr|}=\sqrt[n]{\left(\frac{3n+2}{2n-1}\right)^{n}} =\frac{3n+2}{2n-1}.

Passo 3

Agora tomamos o limite quando n\to\infty:
L = \lim_{n\to\infty}\frac{3n+2}{2n-1} =\frac{3}{2}=1,5.

Passo 4

Como L=1,5>1, o Teste da Raiz garante que a série diverge.

Resposta

A série diverge.

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