Use o Teste da Razão para determinar se as séries a seguir convergem absolutamente, convergem condicionalmente ou divergem.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{100^{n}}

Passo 1

O enunciado pede para analisar a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{100^{n}}
e decidir, pelo Teste da Razão, se ela converge absolutamente, converge condicionalmente ou diverge. Como todos os termos são não negativos, basta usar o teste da razão para verificar convergência ou divergência.

Passo 2

Seja
a_n = \frac{n!}{100^n}.
Aplicamos o Teste da Razão, calculando
L = \lim_{n\to\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n\to\infty} \frac{(n+1)!/100^{\,n+1}}{n!/100^n} = \lim_{n\to\infty} \frac{(n+1)\,n!}{100\cdot100^n}\cdot\frac{100^n}{n!} = \lim_{n\to\infty} \frac{n+1}{100}.
Como
\lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{100} = +\infty > 1,
o Teste da Razão conclui que a série diverge.

Resposta

A série diverge.

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