Use o Teste da Razão para determinar se as séries a seguir convergem absolutamente, convergem condicionalmente ou divergem.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n} n^{2}}{2^{n}}

Passo 1

O enunciado pede para classificar a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}n^{2}}{2^{n}}
como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente, usando o Teste da Razão. Para isso, vamos aplicar o teste à série dos valores absolutos \sum |a_n|.

Passo 2

Definimos
a_n = \frac{(-1)^{n}n^{2}}{2^{n}},
logo
|a_n| = \frac{n^{2}}{2^{n}}.
O Teste da Razão diz que, se
L = \lim_{n\to\infty} \frac{|a_{n+1}|}{|a_n|},
então a série de |a_n| converge se L<1, diverge se L>1 e é inconclusivo se L=1.

Passo 3

Calculamos a razão:
\frac{|a_{n+1}|}{|a_n|} = \frac{\frac{(n+1)^{2}}{2^{\,n+1}}}{\frac{n^{2}}{2^{\,n}}} = \frac{(n+1)^{2}}{n^{2}}\cdot\frac{1}{2} = \Bigl(1+\frac{1}{n}\Bigr)^{2}\frac{1}{2}.
Tomando o limite:
L = \lim_{n\to\infty}\Bigl(1+\frac{1}{n}\Bigr)^{2}\frac{1}{2} = 1^{2}\cdot\frac{1}{2} = \frac{1}{2}<1.

Passo 4

Como L=\tfrac{1}{2}<1, a série \sum |a_n| converge pelo Teste da Razão. Logo a série original converge absolutamente (e, portanto, também converge).

Resposta

A série converge absolutamente.

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