e pede para verificar, usando o teste da raiz, se essa série é convergente.
Informações relevantes fornecidas:
O termo geral da série é a_k=\left(\dfrac{4k-5}{2k+1}\right)^{k}.
É pedido aplicar o teste da raiz (ou seja, calcular a raiz k-ésima do módulo do termo geral e tomar o limite quando k\to\infty).
Passo 2
Enunciado do teste da raiz (explicado de forma simples e didática): para uma série \sum a_k considere
L=\limsup_{k\to\infty}\sqrt[k]{|a_k|}.
As conclusões são:
Se L<1, a série converge absolutamente (logo converge).
Se L>1, a série diverge.
Se L=1, o teste é inconclusivo.
Explicação curta do porquê: a raiz k-ésima mede, em média, a razão de crescimento dos termos. Se essa razão é menor que 1, os termos decaem exponencialmente e a soma converge; se for maior que 1, os termos não tendem a zero e a soma diverge.
Passo 3
Calcular a raiz k-ésima do módulo do termo geral. Começamos escrevendo |a_k| e aplicando a raiz: