(1,0) Use o teste da raiz para verificar se série \sum_{k=1}^{+\infty}\left(\frac{4 k-5}{2 k+1}\right)^{k} é convergente.

Passo 1

O enunciado nos dá a série
\sum_{k=1}^{+\infty}\left(\frac{4k-5}{2k+1}\right)^{k}
e pede para verificar, usando o teste da raiz, se essa série é convergente.
Informações relevantes fornecidas:
  • O termo geral da série é a_k=\left(\dfrac{4k-5}{2k+1}\right)^{k}.
  • É pedido aplicar o teste da raiz (ou seja, calcular a raiz k-ésima do módulo do termo geral e tomar o limite quando k\to\infty).

Passo 2

Enunciado do teste da raiz (explicado de forma simples e didática): para uma série \sum a_k considere
L=\limsup_{k\to\infty}\sqrt[k]{|a_k|}.
As conclusões são:
  • Se L<1, a série converge absolutamente (logo converge).
  • Se L>1, a série diverge.
  • Se L=1, o teste é inconclusivo.
Explicação curta do porquê: a raiz k-ésima mede, em média, a razão de crescimento dos termos. Se essa razão é menor que 1, os termos decaem exponencialmente e a soma converge; se for maior que 1, os termos não tendem a zero e a soma diverge.

Passo 3

Calcular a raiz k-ésima do módulo do termo geral. Começamos escrevendo |a_k| e aplicando a raiz:
|a_k|=\left|\left(\frac{4k-5}{2k+1}\right)^{k}\right|
\Rightarrow \sqrt[k]{|a_k|}=\left|\frac{4k-5}{2k+1}\right|.
Portanto, para aplicar o teste da raiz precisamos estudar o limite
\lim_{k\to\infty}\left|\frac{4k-5}{2k+1}\right|.

Passo 4

Calcular o limite da fração. Uma forma direta é dividir numerador e denominador por k:
\left|\frac{4k-5}{2k+1}\right|=\frac{4-\dfrac{5}{k}}{2+\dfrac{1}{k}}.
Ao fazer k\to\infty os termos \dfrac{5}{k} e \dfrac{1}{k} tendem a 0, então
\lim_{k\to\infty}\left|\frac{4k-5}{2k+1}\right|=\frac{4-0}{2+0}=\frac{4}{2}=2.

Passo 5

Com isso obtemos o valor do parâmetro do teste da raiz:
L=\limsup_{k\to\infty}\sqrt[k]{|a_k|}=\lim_{k\to\infty}\left|\frac{4k-5}{2k+1}\right|=2.
Pelo enunciado do teste da raiz (Passo 2), se L>1 a série diverge.

Resposta

A série diverge.

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