Passo 1
O enunciado pede calcular a integral
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A função a integrar é uma fração racional, com numerador de grau
e denominador de grau . - Como o grau do numerador é menor que o do denominador, trata-se de uma fração própria, então podemos usar decomposição em frações parciais sem fazer divisão polinomial.
Passo 2
Estratégia que vamos usar (explicando didaticamente):
- Para integrar uma fração racional onde o denominador fatora em fatores lineares distintos, escrevemos a fração como soma de termos do tipo
. - Cada termo
integra para . Isto vem do fato de que . - Portanto, vamos fatorar o denominador, fazer a decomposição em frações parciais e integrar cada termo simples.
Passo 3
Factorização do denominador (mostrando o procedimento):
Teste raízes inteiras simples: para ,
Teste raízes inteiras simples: para
logo
é raiz e
é fator. Fazendo a divisão do polinômio
por
obtém-se o quociente
. Esse quadrático fatora como
Portanto o denominador fatora totalmente como
Passo 4
Montagem da decomposição em frações parciais:
Como os fatores são lineares e distintos, existe uma decomposição
Como os fatores são lineares e distintos, existe uma decomposição
onde
são constantes a determinar. Multiplicando ambos os lados por
obtemos a identidade polinomial
Passo 5
Determinação das constantes
(método do “cover-up”/substituição direta):
- Colocando
na identidade:
- Colocando
:
- Colocando
:
Verificação rápida (opcional): os valores
,
,
satisfazem a identidade para todos
.
Passo 6
Reescrevendo a integral usando a decomposição encontrada:
Logo a integral se torna soma de integrais simples:
Passo 7
Regra de integração usada e cálculo explícito:
- Lembrete:
. Assim,
Aplicando isso termo a termo,
Portanto
Passo 8
Forma alternativa condensada (opcional): usando propriedades dos logaritmos podemos agrupar:
Ambas as formas representam antiderivadas válidas (diferenças apenas na constante de integração).