1. \int \frac{x^{2}+1}{x^{3}-6 x^{2}+11 x-6} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral
\int \frac{x^{2}+1}{x^{3}-6x^{2}+11x-6}\,dx.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A função a integrar é uma fração racional, com numerador de grau 2 e denominador de grau 3.
  • Como o grau do numerador é menor que o do denominador, trata-se de uma fração própria, então podemos usar decomposição em frações parciais sem fazer divisão polinomial.

Passo 2

Estratégia que vamos usar (explicando didaticamente):
  • Para integrar uma fração racional onde o denominador fatora em fatores lineares distintos, escrevemos a fração como soma de termos do tipo \dfrac{A}{x-a}.
  • Cada termo \dfrac{1}{x-a} integra para \ln|x-a|. Isto vem do fato de que \dfrac{d}{dx}\ln|x-a|=\dfrac{1}{x-a}.
  • Portanto, vamos fatorar o denominador, fazer a decomposição em frações parciais e integrar cada termo simples.

Passo 3

Factorização do denominador (mostrando o procedimento):
Teste raízes inteiras simples: para x=1,
1^{3}-6\cdot1^{2}+11\cdot1-6 = 1-6+11-6 = 0,
logo x=1 é raiz e (x-1) é fator. Fazendo a divisão do polinômio x^{3}-6x^{2}+11x-6 por (x-1) obtém-se o quociente x^{2}-5x+6. Esse quadrático fatora como
x^{2}-5x+6=(x-2)(x-3).
Portanto o denominador fatora totalmente como
x^{3}-6x^{2}+11x-6=(x-1)(x-2)(x-3).

Passo 4

Montagem da decomposição em frações parciais:
Como os fatores são lineares e distintos, existe uma decomposição
\frac{x^{2}+1}{(x-1)(x-2)(x-3)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x-2}+\frac{C}{x-3},
onde A,B,C são constantes a determinar. Multiplicando ambos os lados por (x-1)(x-2)(x-3) obtemos a identidade polinomial
x^{2}+1 = A(x-2)(x-3) + B(x-1)(x-3) + C(x-1)(x-2).

Passo 5

Determinação das constantes A,B,C (método do “cover-up”/substituição direta):
  • Colocando x=1 na identidade:
1^{2}+1 = 2 = A(1-2)(1-3)=A(-1)(-2)=2A \quad\Rightarrow\quad A=1.
  • Colocando x=2:
2^{2}+1=5 = B(2-1)(2-3)=B(1)(-1)=-B \quad\Rightarrow\quad B=-5.
  • Colocando x=3:
3^{2}+1=10 = C(3-1)(3-2)=C(2)(1)=2C \quad\Rightarrow\quad C=5.
Verificação rápida (opcional): os valores A=1, B=-5, C=5 satisfazem a identidade para todos x.

Passo 6

Reescrevendo a integral usando a decomposição encontrada:
\frac{x^{2}+1}{(x-1)(x-2)(x-3)}=\frac{1}{x-1}-\frac{5}{x-2}+\frac{5}{x-3}.
Logo a integral se torna soma de integrais simples:
\int \frac{x^{2}+1}{x^{3}-6x^{2}+11x-6}\,dx = \int \frac{1}{x-1}\,dx -5\int\frac{1}{x-2}\,dx +5\int\frac{1}{x-3}\,dx.

Passo 7

Regra de integração usada e cálculo explícito:
  • Lembrete: \dfrac{d}{dx}\ln|x-a|=\dfrac{1}{x-a}. Assim,
\int \frac{1}{x-a}\,dx = \ln|x-a| + C.
Aplicando isso termo a termo,
\int \frac{1}{x-1}\,dx = \ln|x-1|,\quad \int \frac{1}{x-2}\,dx = \ln|x-2|,\quad \int \frac{1}{x-3}\,dx = \ln|x-3|.
Portanto
\int \frac{x^{2}+1}{x^{3}-6x^{2}+11x-6}\,dx = \ln|x-1| -5\ln|x-2| +5\ln|x-3| + C.

Passo 8

Forma alternativa condensada (opcional): usando propriedades dos logaritmos podemos agrupar:
\ln|x-1| -5\ln|x-2| +5\ln|x-3| = \ln\!\left| \frac{(x-1)(x-3)^{5}}{(x-2)^{5}}\right|.
Ambas as formas representam antiderivadas válidas (diferenças apenas na constante de integração).

Resposta

\ln|x-1| -5\ln|x-2| +5\ln|x-3| + C

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