(1,5) Use o teste da razăo para verificar se a série \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{k^{k}}{k!} é convergente.
Sugestão: Use o fato de que \lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}=\mathrm{e}>2.

Passo 1

O enunciado pede para usar o teste da razão para verificar se a série \displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{k^{k}}{k!} é convergente ou divergente.
Informações dadas/úteis extraídas do enunciado:
  • A série em análise é \displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{k^{k}}{k!}.
  • Sugestão fornecida: \displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}=e>2.

Passo 2

Lembrete didático sobre o teste da razão (explicação passo a passo):
  • Seja \{a_k\} a sequência dos termos da série; defina
L=\lim_{k\to\infty}\left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right|.
  • Resultado do teste da razão:
    • Se L<1, a série converge absolutamente.
    • Se L>1, a série diverge.
    • Se L=1, o teste é inconclusivo.
      Explicação intuitiva curta: se \frac{a_{k+1}}{a_k}\to L>1 então, para k grande, os termos crescem aproximadamente como uma progressão geométrica com razão maior que 1, portanto não tendem a zero e a soma não pode convergir (uma condição necessária para convergência é a_k\to0).

Passo 3

Aplicando o teste da razão à nossa série: defina
a_k=\frac{k^{k}}{k!}.
Calcule a razão a_{k+1}/a_k com passos algébricos claros:
\frac{a_{k+1}}{a_k} = \frac{\dfrac{(k+1)^{\,k+1}}{(k+1)!}}{\dfrac{k^{k}}{k!}} = \frac{(k+1)^{\,k+1}}{(k+1)!}\cdot\frac{k!}{k^{k}}.
Usando (k+1)!=(k+1)k! obtemos
\frac{a_{k+1}}{a_k} = \frac{(k+1)^{\,k+1}}{(k+1)k^{k}} = \frac{(k+1)^{\,k}}{k^{k}} = \left(1+\frac{1}{k}\right)^{k}.

Passo 4

Avalie o limite da razão usando a sugestão do enunciado:
L=\lim_{k\to\infty}\frac{a_{k+1}}{a_k} =\lim_{k\to\infty}\left(1+\frac{1}{k}\right)^{k}=e.
Lembrando que e\approx2{,}718 e, portanto, e>1.

Passo 5

Interprete o resultado pelo teste da razão: como L=e>1, o teste da razão garante que a série diverge. Uma observação adicional e útil: se a razão tende a um número maior que 1, então os termos a_k não tendem a zero (pelo contrário, para k grande eles crescem de forma aproximadamente geométrica), e como condição necessária para convergência de uma série é que os termos tendam a zero, isso confirma a divergência.
Pequeno exemplo numérico para intuição (opcional, só para ver que faz sentido): para k=1 temos \left(1+\frac{1}{1}\right)^1=2; para k=2 temos \left(1+\frac{1}{2}\right)^2=2{,}25; para k=10 já é cerca de 2{,}593. Esses valores se aproximam de e e são maiores que 1, mostrando que as razões dos termos são maiores que 1 já para pequenos k, o que sugere o crescimento dos termos.

Resposta

A série diverge.

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