Use o teste da razão para determinar a convergência da série.
\sum_{n=1}^{+\infty} n .\left(\frac{2}{3}\right)^{n}

Passo 1

O enunciado nos dá a série
\sum_{n=1}^{+\infty} n \,\Bigl(\frac{2}{3}\Bigr)^{n}
e pede para usar o teste da razão, cujo critério diz que, se
L = \lim_{n\to\infty} \Bigl|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\Bigr|
satisfaça L<1, então a série converge absolutamente.

Passo 2

Definimos o termo geral
a_{n} = n \,\Bigl(\frac{2}{3}\Bigr)^{n}.
Para aplicar o teste da razão, calculamos a razão entre termos consecutivos:
\frac{a_{n+1}}{a_{n}} = \frac{(n+1)\,\bigl(\frac{2}{3}\bigr)^{\,n+1}}{n\,\bigl(\frac{2}{3}\bigr)^{n}} = \frac{n+1}{n}\;\frac{2}{3}.

Passo 3

Agora, tomamos o limite quando n\to\infty:
L = \lim_{n\to\infty} \frac{a_{n+1}}{a_{n}} = \lim_{n\to\infty} \Bigl(\frac{n+1}{n}\Bigr)\;\frac{2}{3} = 1 \cdot \frac{2}{3} = \frac{2}{3}.

Passo 4

Como \frac{2}{3}<1, o teste da razão garante que a série converge absolutamente. Logo, ela converge.

Resposta

A série converge (converge absolutamente) pelo teste da razão.

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