Use o teste da razão para determinar a convergência da série.
\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{3^{n}}{n!}

Passo 1

O enunciado dá a série
\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{3^{n}}{n!}
e pede para usar o teste da razão para determinar sua convergência. O conteúdo envolve séries infinitas e o critério de convergência pelo teste da razão, que exige calcular \displaystyle L = \lim_{n\to\infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|.

Passo 2

Definimos o termo geral
a_n = \frac{3^n}{n!}.
Então o próximo termo é
a_{n+1} = \frac{3^{n+1}}{(n+1)!}.

Passo 3

Aplicamos o teste da razão, calculando
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\displaystyle \frac{3^{n+1}}{(n+1)!}}{\displaystyle \frac{3^n}{n!}} = \frac{3^{n+1}}{(n+1)!\,}\cdot\frac{n!}{3^n} = \frac{3}{n+1}.

Passo 4

Agora avaliamos o limite
L = \lim_{n\to\infty} \frac{3}{n+1} = 0.
Como L = 0 < 1, o teste da razão garante que a série converge absolutamente.

Resposta

A série \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{3^n}{n!} converge absolutamente pelo teste da razão.

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