Use o teste da razão para determinar se a série converge. Se o teste for inconclusivo, aponte isso.
\sum_{k=1}^{\infty} k\left(\frac{1}{2}\right)^{k}

Passo 1

Temos a série
\sum_{k=1}^{\infty} k\Bigl(\tfrac12\Bigr)^{k}
e o que nos pedem é usar o teste da razão para decidir se ela converge. Vamos aplicar o critério clássico de séries numéricas.

Passo 2

O teste da razão diz que, se definirmos a_k = k\bigl(\tfrac12\bigr)^k e calcularmos
L = \lim_{k\to\infty} \biggl|\frac{a_{k+1}}{a_k}\biggr|,
então
  • se L<1, a série converge absolutamente (logo converge);
  • se L>1, diverge;
  • se L=1, o teste é inconclusivo.

Passo 3

Vamos achar a razão entre termos consecutivos:
\frac{a_{k+1}}{a_k} = \frac{(k+1)\bigl(\tfrac12\bigr)^{\,k+1}}{k\bigl(\tfrac12\bigr)^{\,k}} = \frac{k+1}{k}\cdot\frac12.

Passo 4

Agora tomamos o limite quando k\to\infty:
L = \lim_{k\to\infty}\frac{k+1}{k}\cdot\frac12 = 1\cdot\frac12 = \frac12.

Passo 5

Como L=\tfrac12<1, o teste da razão garante que a série converge absolutamente e, portanto, converge.

Resposta

A série \sum_{k=1}^{\infty} k\bigl(\tfrac12\bigr)^{k} converge pelo teste da razão (pois L=\tfrac12<1).

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