Use o teste da razão ou da raiz para analisar a convergência das séries abaixo
Lembre-se de que \lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}=e
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{n!}{n^{n}} R .:

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{n^{n}}.
Informações dadas/úteis:
  • O termo geral é a_n=\dfrac{n!}{n^{n}}.
  • Foi pedido para usar o teste da razão ou o teste da raiz.
    Vou separar o que o problema pede: decidir se a série converge ou diverge (e, se converge, é convergência absoluta). Não é necessário decidir condição de convergência condicional aqui porque os termos são positivos.

Passo 2

Qual teste usar e por quê (explicando de forma didática)?
  • O teste da raiz exige calcular \lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{a_n}. Como a_n já tem potências n^{n} no denominador e um fatorial no numerador, a operação \sqrt[n]{\cdot} costuma simplificar muito: \sqrt[n]{n!} e \sqrt[n]{n^{n}}=n aparecem naturalmente. Por isso o teste da raiz é uma boa escolha aqui (mais direto que a razão).
  • Lembrete do teste da raiz (afinal, você está estudando agora): se a_n\ge0 e
L=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}
existe, então
  • se L<1 a série \sum a_n converge absolutamente;
  • se L>1 a série diverge;
  • se L=1 o teste é inconclusivo.

Passo 3

Aplicando o teste da raiz: escrevemos a raiz enésima do termo geral.
\sqrt[n]{a_n}=\sqrt[n]{\frac{n!}{n^{n}}}=\frac{(n!)^{1/n}}{n}.
Definimos
r_n:=\sqrt[n]{a_n}=\frac{(n!)^{1/n}}{n}.
Queremos calcular L=\lim_{n\to\infty} r_n.

Passo 4

Transformação com logaritmo para facilitar o cálculo do limite (a técnica padrão).
Calculemos o logaritmo natural de r_n:
\ln r_n=\ln\big((n!)^{1/n}\big)-\ln n=\frac{1}{n}\ln(n!)-\ln n.
Agora use a decomposição de \ln(n!) em soma:
\ln(n!)=\sum_{k=1}^{n}\ln k.
Então
\frac{1}{n}\ln(n!)=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\ln k.
Reescrevendo cada \ln k como \ln n+\ln\!\left(\dfrac{k}{n}\right) não é direto, mas podemos separar:
\frac{1}{n}\ln(n!)=\ln n + \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\ln\!\left(\frac{k}{n}\right).
Substituindo em \ln r_n obtemos
\ln r_n=\left(\ln n + \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\ln\!\left(\frac{k}{n}\right)\right)-\ln n =\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\ln\!\left(\frac{k}{n}\right).

Passo 5

Interpretação como soma de Riemann e cálculo do limite.
  • A expressão \dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\ln\!\left(\dfrac{k}{n}\right) é exatamente uma soma de Riemann para a integral de \ln x em [0,1], usando os pontos x_k=\dfrac{k}{n} (pontos à direita). Portanto, quando n\to\infty,
\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\ln\!\left(\frac{k}{n}\right)\longrightarrow \int_{0}^{1}\ln x\,dx.
  • Calculemos a integral:
\int_{0}^{1}\ln x\,dx=\big[x\ln x - x\big]_{0}^{1}.
Avaliar em 1 1\cdot\ln 1 -1 = -1. O termo limite em 0 satisfa z \lim_{x\to0^+} x\ln x =0, logo a integral vale -1.
  • Assim
\lim_{n\to\infty}\ln r_n = -1.
Exponenciando ambos os lados,
\lim_{n\to\infty} r_n = e^{-1}=\frac{1}{e}.

Passo 6

Conclusão pelo teste da raiz.
  • Encontramos L=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=\dfrac{1}{e}.
  • Como \dfrac{1}{e}<1, o teste da raiz garante que a série converge absolutamente. Ou seja, a série \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{n!}{n^{n}} é convergente.

Resposta

A série converge absolutamente.

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