Use o teste da razão ou da raiz para analisar a convergência das séries abaixo
Lembre-se de que
Passo 1
O enunciado pede para analisar a convergência da série
Informações dadas/úteis:
- O termo geral é
. - Foi pedido para usar o teste da razão ou o teste da raiz.
Vou separar o que o problema pede: decidir se a série converge ou diverge (e, se converge, é convergência absoluta). Não é necessário decidir condição de convergência condicional aqui porque os termos são positivos.
Passo 2
Qual teste usar e por quê (explicando de forma didática)?
- O teste da raiz exige calcular
. Como já tem potências no denominador e um fatorial no numerador, a operação costuma simplificar muito: e aparecem naturalmente. Por isso o teste da raiz é uma boa escolha aqui (mais direto que a razão). - Lembrete do teste da raiz (afinal, você está estudando agora): se
e
existe, então
- se
a série converge absolutamente; - se
a série diverge; - se
o teste é inconclusivo.
Passo 3
Aplicando o teste da raiz: escrevemos a raiz enésima do termo geral.
Definimos
Queremos calcular
.
Passo 4
Transformação com logaritmo para facilitar o cálculo do limite (a técnica padrão).
Calculemos o logaritmo natural de :
Calculemos o logaritmo natural de
Agora use a decomposição de
em soma:
Então
Reescrevendo cada
como
não é direto, mas podemos separar:
Substituindo em
obtemos
Passo 5
Interpretação como soma de Riemann e cálculo do limite.
- A expressão
é exatamente uma soma de Riemann para a integral de em , usando os pontos (pontos à direita). Portanto, quando ,
- Calculemos a integral:
Avaliar em
dá
. O termo limite em
satisfa z
, logo a integral vale
.
- Assim
Exponenciando ambos os lados,
Passo 6
Conclusão pelo teste da raiz.
- Encontramos
. - Como
, o teste da raiz garante que a série converge absolutamente. Ou seja, a série é convergente.
Resposta
A série converge absolutamente.