Use o teste da razão ou da raiz para analisar a convergência das séries abaixo
Lembre-se de que \lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}=e
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\arctan (n)}{n^{2}} R .:

Passo 1

O enunciado nos dá a série de termos positivos
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\arctan(n)}{n^{2}}.
O pedido é analisar a convergência usando o teste da razão ou o teste da raiz (um desses). Informações úteis que temos diretamente do enunciado:
  • Para todo n\ge 1, \arctan(n)>0, logo todos os termos são positivos.
  • Sabe-se também o limite conhecido \lim_{x\to\infty}\arctan(x)=\dfrac{\pi}{2}.

Passo 2

Vou aplicar primeiro o teste da razão (definição e ideia).
  • Definição do teste da razão (dica): para uma série com termos positivos a_n, calcula-se
L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}.
Se L<1 a série converge; se L>1 diverge; se L=1 o teste é inconclusivo.
  • Aqui a_n=\dfrac{\arctan(n)}{n^{2}}. Então
\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{\dfrac{\arctan(n+1)}{(n+1)^{2}}}{\dfrac{\arctan(n)}{n^{2}}} =\frac{\arctan(n+1)}{\arctan(n)}\cdot\frac{n^{2}}{(n+1)^{2}}.
Agora calculamos o limite quando n\to\infty.
  • Observações sobre os fatores:
    • \displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{\arctan(n+1)}{\arctan(n)}=1, porque \arctan(n)\to \dfrac{\pi}{2} finito e não nulo.
    • \displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{n^{2}}{(n+1)^{2}}=\left(\lim_{n\to\infty}\frac{n}{n+1}\right)^{2}=1^{2}=1.
  • Logo
L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=1\cdot 1 = 1.
Conclusão do teste da razão: como L=1, o teste da razão é inconclusivo (não diz se converge ou diverge).

Passo 3

Vou aplicar o teste da raiz para confirmar a inconclusão (definição e ideia).
  • Definição do teste da raiz: para a_n\ge0 calcula-se
R=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}.
Se R<1 a série converge; se R>1 diverge; se R=1 é inconclusivo.
  • Aqui
\sqrt[n]{a_n}=\sqrt[n]{\frac{\arctan(n)}{n^{2}}} =\bigl(\arctan(n)\bigr)^{1/n}\cdot n^{-2/n}.
Calcule os dois fatores quando n\to\infty:
  • Como \arctan(n)\to \dfrac{\pi}{2} (uma constante positiva), tem-se \bigl(\arctan(n)\bigr)^{1/n}\to 1 (qualquer constante positiva elevada a 1/n tende a 1).
  • Também n^{-2/n}=\exp\!\bigl(-\tfrac{2}{n}\ln n\bigr). Como \tfrac{\ln n}{n}\to 0, temos n^{-2/n}\to 1.
  • Portanto
R=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=1\cdot 1 = 1.
Conclusão do teste da raiz: R=1, então o teste da raiz também é inconclusivo.

Passo 4

Como o enunciado pediu para usar o teste da razão ou da raiz, eu os usei e ambos deram o caso limite 1, isto é, inconclusivos. Agora preciso escolher um outro teste que realmente resolva o problema. Uma boa estratégia é comparar com uma série p-série conhecida porque aqui aparece um fator n^{-2}.
  • Ideia (teste de comparação e limite): comparar a_n=\dfrac{\arctan(n)}{n^{2}} com \dfrac{1}{n^{2}}. Para séries de termos positivos é conveniente usar o teste da comparação direta ou o teste da comparação por limite (limit comparison).
  • Observação simples: para todo n\ge1 vale 0<\arctan(n)\le \dfrac{\pi}{2}. Assim
0<\frac{\arctan(n)}{n^{2}}\le \frac{\pi/2}{n^{2}}.
Como \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}} é convergente (série p-com p=2>1), pelo teste da comparação direta a série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\pi/2}{n^{2}} converge, e portanto a série original converge por comparação.
  • Alternativa (limit comparison) — demonstração mais explicita do mesmo raciocínio:
\lim_{n\to\infty}\frac{\dfrac{\arctan(n)}{n^{2}}}{\dfrac{1}{n^{2}}} =\lim_{n\to\infty}\arctan(n)=\frac{\pi}{2},
que é um número positivo finito. Pelo teste da comparação por limite, a série \sum \dfrac{\arctan(n)}{n^{2}} converge exatamente quando \sum \dfrac{1}{n^{2}} converge; como a segunda converge, a primeira também converge.

Passo 5

Interpretação final e comentário sobre tipo de convergência:
  • Os termos são todos positivos, logo a convergência obtida é de fato convergência simples (e, por ser termos não negativos, também pode chamar-se convergência absoluta sem diferença aqui).
  • Conclusão prática: a série converge, e a razão/raiz sozinhas foram inconclusivas (limite igual a 1), por isso foi necessária a comparação com uma p-série.

Resposta

A série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\arctan(n)}{n^{2}} converge (convergência por comparação com a série p-com p=2).

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