Use o teste da razão ou da raiz para analisar a convergência das séries abaixo
Lembre-se de que
Passo 1
O enunciado nos dá a série de termos positivos
O pedido é analisar a convergência usando o teste da razão ou o teste da raiz (um desses). Informações úteis que temos diretamente do enunciado:
- Para todo
, , logo todos os termos são positivos. - Sabe-se também o limite conhecido
.
Passo 2
Vou aplicar primeiro o teste da razão (definição e ideia).
- Definição do teste da razão (dica): para uma série com termos positivos
, calcula-se
Se
a série converge; se
diverge; se
o teste é inconclusivo.
- Aqui
. Então
Agora calculamos o limite quando
.
- Observações sobre os fatores:
-
, porque finito e não nulo. -
-
- Logo
Conclusão do teste da razão: como
, o teste da razão é inconclusivo (não diz se converge ou diverge).
Passo 3
Vou aplicar o teste da raiz para confirmar a inconclusão (definição e ideia).
- Definição do teste da raiz: para
calcula-se
Se
a série converge; se
diverge; se
é inconclusivo.
- Aqui
Calcule os dois fatores quando
:
- Como
(uma constante positiva), tem-se (qualquer constante positiva elevada a tende a 1). - Também
. Como , temos . - Portanto
Conclusão do teste da raiz:
, então o teste da raiz também é inconclusivo.
Passo 4
Como o enunciado pediu para usar o teste da razão ou da raiz, eu os usei e ambos deram o caso limite
, isto é, inconclusivos. Agora preciso escolher um outro teste que realmente resolva o problema. Uma boa estratégia é comparar com uma série
-série conhecida porque aqui aparece um fator
.
- Ideia (teste de comparação e limite): comparar
com . Para séries de termos positivos é conveniente usar o teste da comparação direta ou o teste da comparação por limite (limit comparison). - Observação simples: para todo
vale . Assim
Como
é convergente (série
-com
), pelo teste da comparação direta a série
converge, e portanto a série original converge por comparação.
- Alternativa (limit comparison) — demonstração mais explicita do mesmo raciocínio:
que é um número positivo finito. Pelo teste da comparação por limite, a série
converge exatamente quando
converge; como a segunda converge, a primeira também converge.
Passo 5
Interpretação final e comentário sobre tipo de convergência:
- Os termos são todos positivos, logo a convergência obtida é de fato convergência simples (e, por ser termos não negativos, também pode chamar-se convergência absoluta sem diferença aqui).
- Conclusão prática: a série converge, e a razão/raiz sozinhas foram inconclusivas (limite igual a
), por isso foi necessária a comparação com uma -série.
Resposta
A série
converge (convergência por comparação com a série
-com
).