Use o teste da razão ou da raiz para analisar a convergência das séries abaixo
Lembre-se de que \lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}=e
\sum_{n=1}^{+\infty}\left(\frac{n^{2}+1}{2 n^{2}+1}\right)^{n} R.

Passo 1

O enunciado nos dá a série
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{n^{2}+1}{2 n^{2}+1}\right)^{n}
e pede para analisar a convergência usando o teste da razão ou o teste da raiz. Informação importante que já dá para notar: os termos da série são positivos para todo n. A pergunta a responder é: a série converge ou diverge? (Se convergir, podemos dizer também que converge absolutamente, já que os termos são não negativos.)

Passo 2

Escolha do método: quando o termo geral tem uma expressão elevada a n, como \big(\cdot\big)^{n}, o teste da raiz costuma ser o mais direto, porque ele pega exatamente essa base. Por isso vou usar o teste da raiz — é mais simples e rápido aqui do que o teste da razão.

Passo 3

Lembrete / enunciado do teste da raiz (explicado devagarinho):
  • Seja a_n o termo geral de uma série. Defina
L=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}.
  • Se \,L<1 então a série \sum a_n converge absolutamente.
  • Se \,L>1 então a série diverge.
  • Se \,L=1 o teste é inconclusivo.
Intuição curta: \sqrt[n]{|a_n|} mede a “base” exponencial de a_n. Se essa base for menor que 1 no limite, os termos decaem geometricamente e a série converge.

Passo 4

Aplicando ao nosso termo a_n=\left(\dfrac{n^{2}+1}{2 n^{2}+1}\right)^{n}. Calculo a raiz enésima:
\sqrt[n]{a_n}=\frac{n^{2}+1}{2 n^{2}+1}.
Agora calculo o limite quando n\to\infty. Para isso divido numerador e denominador por n^{2}:
\frac{n^{2}+1}{2 n^{2}+1} =\frac{1+\dfrac{1}{n^{2}}}{2+\dfrac{1}{n^{2}}}.
Tomando o limite:
\lim_{n\to\infty}\frac{1+\dfrac{1}{n^{2}}}{2+\dfrac{1}{n^{2}}} =\frac{1+0}{2+0}=\frac{1}{2}.

Passo 5

Como o limite L=\dfrac{1}{2} satisfaz \,L<1, pelo teste da raiz a série converge absolutamente. Como os termos são positivos, isso equivale simplesmente a dizer que a série converge.
(Uma observação intuitiva: para n grande, \left(\dfrac{n^{2}+1}{2 n^{2}+1}\right)^{n} comporta-se como \left(\dfrac{1}{2}\right)^{n}, isto é, decai geometricamente com razão aproximada \dfrac{1}{2}.)

Passo 6

Conclusão final e incentivo: pronto — aplicando o teste da raiz de forma direta chegamos a um limite menor que 1, então a série converge. Boa! Esse tipo de reconhecimento (termo na forma (\cdot)^n sugerindo o teste da raiz) é um truque muito útil na prova: quando vir algo elevado a n, a raiz enésima normalmente resolve rapidinho.

Resposta

A série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{n^{2}+1}{2 n^{2}+1}\right)^{n} converge absolutamente.

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