Use o teste da razão ou da raiz para analisar a convergência das séries abaixo
Lembre-se de que
.
Passo 1
O enunciado nos dá a série
e pede para analisar a convergência usando o teste da razão ou o teste da raiz. Informação importante que já dá para notar: os termos da série são positivos para todo
. A pergunta a responder é: a série converge ou diverge? (Se convergir, podemos dizer também que converge absolutamente, já que os termos são não negativos.)
Passo 2
Escolha do método: quando o termo geral tem uma expressão elevada a
, como
, o teste da raiz costuma ser o mais direto, porque ele pega exatamente essa base. Por isso vou usar o teste da raiz — é mais simples e rápido aqui do que o teste da razão.
Passo 3
Lembrete / enunciado do teste da raiz (explicado devagarinho):
- Seja
o termo geral de uma série. Defina
- Se
então a série converge absolutamente. - Se
então a série diverge. - Se
o teste é inconclusivo.
Intuição curta:
mede a “base” exponencial de
. Se essa base for menor que
no limite, os termos decaem geometricamente e a série converge.
Passo 4
Aplicando ao nosso termo
. Calculo a raiz enésima:
Agora calculo o limite quando
. Para isso divido numerador e denominador por
:
Tomando o limite:
Passo 5
Como o limite
satisfaz
, pelo teste da raiz a série converge absolutamente. Como os termos são positivos, isso equivale simplesmente a dizer que a série converge.
(Uma observação intuitiva: para
grande,
comporta-se como
, isto é, decai geometricamente com razão aproximada
.)
Passo 6
Conclusão final e incentivo: pronto — aplicando o teste da raiz de forma direta chegamos a um limite menor que
, então a série converge. Boa! Esse tipo de reconhecimento (termo na forma
sugerindo o teste da raiz) é um truque muito útil na prova: quando vir algo elevado a
, a raiz enésima normalmente resolve rapidinho.
Resposta
A série
converge absolutamente.