Use o teste da razão ou da raiz para determinar a convergência ou divergência das seguintes séries:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{n}+5}{3^{n}}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • O enunciado nos fornece a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{n}+5}{3^{n}}.
  • A pergunta é: usar o teste da razão ou o teste da raiz para determinar se a série converge ou diverge.
  • Informação importante que vamos usar: os termos da série são positivos para todo n, pois 2^{n}+5>0 e 3^{n}>0. Portanto podemos aplicar sem problema testes que usam raízes ou razões.

Passo 2

Apresento o enunciado do teste da raiz (PRINCÍPIO e o que cada símbolo significa), que escolhi usar porque aqui ele fica bem direto.
  • Seja a_n o n-ésimo termo da série (aqui a_n=\dfrac{2^{n}+5}{3^{n}}).
  • Defina
L=\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}.
  • O teste da raiz afirma:
    • Se L<1 então a série \sum a_n converge absolutamente (logo converge).
    • Se L>1 então a série diverge.
    • Se L=1 o teste é inconclusivo.
Explicando as notações: \sqrt[n]{|a_n|} é a raiz n-ésima de |a_n|; \limsup é o limite superior, mas quando o limite existe simplesmente escrevemos \lim.

Passo 3

Calculo a raiz n-ésima de a_n.
Começo escrevendo
\sqrt[n]{a_n}=\sqrt[n]{\frac{2^{n}+5}{3^{n}}} =\frac{\sqrt[n]{2^{n}+5}}{\sqrt[n]{3^{n}}} =\frac{\sqrt[n]{2^{n}+5}}{3}.
Agora fatoro 2^{n} dentro da raiz:
\sqrt[n]{2^{n}+5}=\sqrt[n]{2^{n}\!\left(1+\frac{5}{2^{n}}\right)} =2\cdot\sqrt[n]{1+\frac{5}{2^{n}}}.
Portanto
\sqrt[n]{a_n}=\frac{2}{3}\cdot\sqrt[n]{1+\frac{5}{2^{n}}}.

Passo 4

Determino o limite da parte \sqrt[n]{1+\dfrac{5}{2^{n}}}.
Defina
b_n=\sqrt[n]{1+\frac{5}{2^{n}}}.
Quero mostrar que \lim_{n\to\infty} b_n = 1.
Uma forma rigorosa é usar logaritmo e uma desigualdade simples. Tome o logaritmo natural:
\ln b_n = \frac{1}{n}\ln\!\left(1+\frac{5}{2^{n}}\right).
Para x>-1 vale \ln(1+x)\le x. Aplicando com x=\dfrac{5}{2^{n}}>0,
0\le \ln\!\left(1+\frac{5}{2^{n}}\right)\le \frac{5}{2^{n}}.
Dividindo por n,
0\le \frac{1}{n}\ln\!\left(1+\frac{5}{2^{n}}\right)\le \frac{5}{n2^{n}}.
Como 2^{n} cresce exponencialmente, \dfrac{5}{n2^{n}}\to 0 quando n\to\infty. Pela desigualdade em cadeia segue que \ln b_n \to 0. Portanto b_n=\exp(\ln b_n)\to e^{0}=1.
Assim concluímos
\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{1+\frac{5}{2^{n}}}=1.

Passo 5

Volto para \sqrt[n]{a_n}. Usando o resultado do passo anterior:
\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n} =\lim_{n\to\infty}\left(\frac{2}{3}\cdot\sqrt[n]{1+\frac{5}{2^{n}}}\right) =\frac{2}{3}\cdot 1 =\frac{2}{3}.
Portanto no teste da raiz obtemos L=\dfrac{2}{3}.

Passo 6

Interpreto o valor obtido com o teste da raiz.
  • Como L=\dfrac{2}{3}<1, pelo teste da raiz a série \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{2^{n}+5}{3^{n}} converge absolutamente. Consequentemente a série converge.
(Opcional — se quiser, a soma pode ser encontrada separando termos em duas séries geométricas: \sum (2/3)^{n} e 5\sum (1/3)^{n}, ambas convergentes; mas o enunciado pedia apenas convergência/divergência usando um dos testes.)

Resposta

A série converge absolutamente (logo converge).

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