Use o teste da razão ou da raiz para determinar a convergência ou divergência das seguintes séries:
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- O enunciado nos fornece a série
- A pergunta é: usar o teste da razão ou o teste da raiz para determinar se a série converge ou diverge.
- Informação importante que vamos usar: os termos da série são positivos para todo
, pois e . Portanto podemos aplicar sem problema testes que usam raízes ou razões.
Passo 2
Apresento o enunciado do teste da raiz (PRINCÍPIO e o que cada símbolo significa), que escolhi usar porque aqui ele fica bem direto.
- Seja
o -ésimo termo da série (aqui ). - Defina
- O teste da raiz afirma:
- Se
então a série converge absolutamente (logo converge). - Se
então a série diverge. - Se
o teste é inconclusivo.
- Se
Explicando as notações:
é a raiz
-ésima de
;
é o limite superior, mas quando o limite existe simplesmente escrevemos
.
Passo 3
Calculo a raiz
-ésima de
.
Começo escrevendo
Agora fatoro
dentro da raiz:
Portanto
Passo 4
Determino o limite da parte
.
Defina
Quero mostrar que
.
Uma forma rigorosa é usar logaritmo e uma desigualdade simples. Tome o logaritmo natural:
Para
vale
. Aplicando com
,
Dividindo por
,
Como
cresce exponencialmente,
quando
. Pela desigualdade em cadeia segue que
. Portanto
.
Assim concluímos
Passo 5
Volto para
. Usando o resultado do passo anterior:
Portanto no teste da raiz obtemos
.
Passo 6
Interpreto o valor obtido com o teste da raiz.
- Como
, pelo teste da raiz a série converge absolutamente. Consequentemente a série converge.
(Opcional — se quiser, a soma pode ser encontrada separando termos em duas séries geométricas:
e
, ambas convergentes; mas o enunciado pedia apenas convergência/divergência usando um dos testes.)
Resposta
A série converge absolutamente (logo converge).