Use o teste da comparação ou o teste da comparação no limite, para determinar a convergência ou divergência das seguintes séries:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n 3^{n}}

Passo 1

O enunciado dá a série de termos positivos
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n 3^{n}}.
A questão pede: determinar se essa série converge ou diverge.
Informações relevantes dadas:
  • Os termos gerais são a_n=\dfrac{1}{n 3^{n}}.
  • Para todo n\ge1 temos a_n>0.
    A partir disso vamos aplicar o teste da comparação (e, como alternativa, o teste da comparação no limite).

Passo 2

Lembrete didático: enunciado do teste da comparação (versão direta para séries de termos não-negativos).
Sejam \{a_n\} e \{b_n\} sequências com 0\le a_n\le b_n para todo n a partir de algum N.
  • Se \sum b_n converge, então \sum a_n converge.
  • Se \sum a_n diverge, então \sum b_n diverge.
    Aqui a_n e b_n são os termos das séries; a ideia é comparar com uma série cujo comportamento já conhecemos (por exemplo, uma série geométrica). Vou aplicar isso passo a passo.

Passo 3

Construção da comparação: note que para todo n\ge1 vale \dfrac{1}{n}\le 1. Portanto
\frac{1}{n 3^{n}} \le \frac{1}{3^{n}}.
Definimos b_n=\dfrac{1}{3^{n}}. Agora verificamos a convergência de \sum b_n.

Passo 4

Série geométrica conhecida: para |r|<1,
\sum_{n=1}^{\infty} r^{n} = \frac{r}{1-r}.
Aqui tomamos r=\dfrac{1}{3} (que satisfaz |r|<1). Logo
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{3^{n}} = \frac{\tfrac{1}{3}}{1-\tfrac{1}{3}} = \frac{\tfrac{1}{3}}{\tfrac{2}{3}} = \frac{1}{2},
ou seja, \sum b_n converge.

Passo 5

Aplicando o teste da comparação direta: como para todo n tem 0\le a_n\le b_n e \sum b_n converge, segue que
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n 3^{n}}
converge também. Como todos os termos são positivos, essa convergência é absoluta.

Passo 6

(Alternativa — teste da comparação no limite, explicação curta)
Enunciado do teste da comparação no limite: se a_n>0, b_n>0 e \lim_{n\to\infty}\dfrac{a_n}{b_n}=c com 0<c<\infty, então \sum a_n e \sum b_n têm o mesmo comportamento. Há também o caso útil: se \lim_{n\to\infty}\dfrac{a_n}{b_n}=0 e \sum b_n converge, então \sum a_n converge.
Aqui
\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{1}{n3^{n}}}{\frac{1}{3^{n}}}=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0.
Como \sum \dfrac{1}{3^{n}} converge, por esse critério também concluímos que \sum \dfrac{1}{n3^{n}} converge.

Passo 7

Bônus (curiosidade útil na prova): a soma da série pode ser encontrada por uma expansão conhecida. Para |x|<1 vale
-\ln(1-x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n}}{n}.
Tomando x=\dfrac{1}{3} obtemos
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n3^{n}} = -\ln\!\left(1-\frac{1}{3}\right) = -\ln\!\left(\frac{2}{3}\right)=\ln\!\left(\frac{3}{2}\right).
Portanto além de convergir, a soma exata é \ln\!\left(\dfrac{3}{2}\right).

Resposta

Converge (convergência absoluta). Soma = \ln\!\left(\dfrac{3}{2}\right)

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