Use o teste da comparação ou o teste da comparação no limite, para determinar a convergência ou divergência das seguintes séries:
Passo 1
O enunciado dá a série de termos positivos
.
A questão pede: determinar se essa série converge ou diverge.
Informações relevantes dadas:
A questão pede: determinar se essa série converge ou diverge.
Informações relevantes dadas:
- Os termos gerais são
. - Para todo
temos .
A partir disso vamos aplicar o teste da comparação (e, como alternativa, o teste da comparação no limite).
Passo 2
Lembrete didático: enunciado do teste da comparação (versão direta para séries de termos não-negativos).
Sejam e
sequências com
para todo
a partir de algum
.
Sejam
- Se
converge, então converge. - Se
diverge, então diverge.
Aquie são os termos das séries; a ideia é comparar com uma série cujo comportamento já conhecemos (por exemplo, uma série geométrica). Vou aplicar isso passo a passo.
Passo 3
Construção da comparação: note que para todo
vale
. Portanto
Definimos
. Agora verificamos a convergência de
.
Passo 4
Série geométrica conhecida: para
,
Aqui tomamos
(que satisfaz
). Logo
ou seja,
converge.
Passo 5
Aplicando o teste da comparação direta: como para todo
tem
e
converge, segue que
converge também. Como todos os termos são positivos, essa convergência é absoluta.
Passo 6
(Alternativa — teste da comparação no limite, explicação curta)
Enunciado do teste da comparação no limite: se ,
e
com
, então
e
têm o mesmo comportamento. Há também o caso útil: se
e
converge, então
converge.
Aqui
Enunciado do teste da comparação no limite: se
Aqui
Como
converge, por esse critério também concluímos que
converge.
Passo 7
Bônus (curiosidade útil na prova): a soma da série pode ser encontrada por uma expansão conhecida. Para
vale
Tomando
obtemos
Portanto além de convergir, a soma exata é
.
Resposta
Converge (convergência absoluta). Soma =