Verifique que a função que estende o n-ésimo termo de cada série dada abaixo atende às hipóteses do Teste da Integral e em seguida decida sobre a convergência de cada série.
\sum_{n=3}^{+\infty} \frac{3}{n(\ln (n))^{2}}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claramente:
  • Verificar que a função que estende o termo geral da série atende às hipóteses do Teste da Integral.
  • Decidir sobre a convergência da série
\sum_{n=3}^{+\infty} \frac{3}{n(\ln n)^{2}}.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • O termo geral é a_n=\dfrac{3}{n(\ln n)^{2}} para n\ge 3.
  • Vou estender a_n para uma função contínua f(x) definida em [3,\infty) e verificar: (i) positividade, (ii) continuidade em [3,\infty), (iii) monoticidade decrescente em [3,\infty). Em seguida aplico o Teste da Integral.

Passo 2

Definição da função contínua que estende o termo geral:
f(x)=\frac{3}{x(\ln x)^{2}},\qquad x\ge 3.
Explicando por que essa é a extensão natural: para x=n\in\mathbb{N} obtemos f(n)=a_n. Agora vamos checar as hipóteses do Teste da Integral uma a uma.

Passo 3

Positividade e continuidade.
  • Para x\ge 3 tem-se \ln x>0, logo (\ln x)^{2}>0 e x>0. Portanto f(x)>0 para todo x\ge 3.
  • As operações x\mapsto x, x\mapsto \ln x e potências são contínuas em [3,\infty) e o denominador não se anula, logo f é contínua em [3,\infty).

Passo 4

Monoticidade (mostrar que f é decrescente em [3,\infty)).
Calculamos a derivada de f. Começamos com
f(x)=3\cdot x^{-1}(\ln x)^{-2}.
Derivando passo a passo (produto e regra da cadeia):
f'(x)=3\left[-x^{-2}(\ln x)^{-2} + x^{-1}\cdot(-2)(\ln x)^{-3}\cdot\frac{1}{x}\right].
Colocando num denominador comum x^{2}(\ln x)^{3}:
f'(x)=3\left[-\frac{1}{x^{2}(\ln x)^{2}} - \frac{2}{x^{2}(\ln x)^{3}}\right] = -\frac{3\big(\ln x + 2\big)}{x^{2}(\ln x)^{3}}.
Para x\ge 3 tem-se \ln x>0, portanto \ln x+2>0 e x^{2}(\ln x)^{3}>0. Assim
f'(x)<0\quad\text{para todo }x\ge 3,
ou seja, f é estritamente decrescente em [3,\infty).

Passo 5

Conclusão sobre as hipóteses do Teste da Integral.
Reunindo os resultados:
  • f é positiva em [3,\infty),
  • f é contínua em [3,\infty),
  • f é decrescente em [3,\infty).
    Logo todas as hipóteses do Teste da Integral estão satisfeitas para a extensão f de a_n.

Passo 6

Enunciado do Teste da Integral (explicação didática curta).
Se f é positiva, contínua e decrescente em [N,\infty) e a_n=f(n), então a série \sum_{n=N}^{\infty} a_n e a integral imprópria \int_{N}^{\infty} f(x)\,dx têm o mesmo comportamento: ou ambas convergem, ou ambas divergem. Uma maneira rápida de ver por que: para n\ge N e x\in[n,n+1] vale f(n+1)\le f(x)\le f(n); integrando em [n,n+1] e somando obtém-se desigualdades que ligam somas parciais da série às integrais parciais, o que dá a equivalência de convergência.

Passo 7

Aplicação prática: calcular a integral imprópria
\int_{3}^{\infty}\frac{3}{x(\ln x)^{2}}\,dx.
Fazemos a substituição habitual u=\ln x, então du=\dfrac{dx}{x}. Quando x=3 tem-se u=\ln 3; quando x\to\infty tem-se u\to\infty. A integral vira
\int_{3}^{\infty}\frac{3}{x(\ln x)^{2}}\,dx =3\int_{\ln 3}^{\infty} u^{-2}\,du.
Agora integramos u^{-2}:
3\int_{\ln 3}^{\infty} u^{-2}\,du =3\left[ -u^{-1} \right]_{u=\ln 3}^{u\to\infty} =3\left(0 - \big(-\tfrac{1}{\ln 3}\big)\right) =\frac{3}{\ln 3},
que é um número finito. Assim a integral imprópria converge.

Passo 8

Conclusão final a partir do Teste da Integral (preparação para a resposta).
Como as hipóteses do Teste da Integral foram verificadas e a integral impropria \displaystyle\int_{3}^{\infty}\frac{3}{x(\ln x)^{2}}\,dx é finita, a série tem o mesmo comportamento da integral.

Resposta

A série converge.

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