Verifique que a função que estende o n-ésimo termo de cada série dada abaixo atende às hipóteses do Teste da Integral e em seguida decida sobre a convergência de cada série.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas claramente:
- Verificar que a função que estende o termo geral da série atende às hipóteses do Teste da Integral.
- Decidir sobre a convergência da série
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- O termo geral é
para . - Vou estender
para uma função contínua definida em e verificar: (i) positividade, (ii) continuidade em , (iii) monoticidade decrescente em . Em seguida aplico o Teste da Integral.
Passo 2
Definição da função contínua que estende o termo geral:
Explicando por que essa é a extensão natural: para
obtemos
. Agora vamos checar as hipóteses do Teste da Integral uma a uma.
Passo 3
Positividade e continuidade.
- Para
tem-se , logo e . Portanto para todo . - As operações
, e potências são contínuas em e o denominador não se anula, logo é contínua em .
Passo 4
Monoticidade (mostrar que
é decrescente em
).
Calculamos a derivada de . Começamos com
Calculamos a derivada de
Derivando passo a passo (produto e regra da cadeia):
Colocando num denominador comum
:
Para
tem-se
, portanto
e
. Assim
ou seja,
é estritamente decrescente em
.
Passo 5
Conclusão sobre as hipóteses do Teste da Integral.
Reunindo os resultados:
Reunindo os resultados:
-
é positiva em , -
é contínua em , -
é decrescente em .
Logo todas as hipóteses do Teste da Integral estão satisfeitas para a extensãode .
Passo 6
Enunciado do Teste da Integral (explicação didática curta).
Se é positiva, contínua e decrescente em
e
, então a série
e a integral imprópria
têm o mesmo comportamento: ou ambas convergem, ou ambas divergem. Uma maneira rápida de ver por que: para
e
vale
; integrando em
e somando obtém-se desigualdades que ligam somas parciais da série às integrais parciais, o que dá a equivalência de convergência.
Se
Passo 7
Aplicação prática: calcular a integral imprópria
Fazemos a substituição habitual
, então
. Quando
tem-se
; quando
tem-se
. A integral vira
Agora integramos
:
que é um número finito. Assim a integral imprópria converge.
Passo 8
Conclusão final a partir do Teste da Integral (preparação para a resposta).
Como as hipóteses do Teste da Integral foram verificadas e a integral impropria é finita, a série tem o mesmo comportamento da integral.
Como as hipóteses do Teste da Integral foram verificadas e a integral impropria
Resposta
A série converge.