Use o teste da razão ou da raiz e determine se as séries abaixo convergem. Caso este teste não forneça nenhuma conclusão, tente outro teste.
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n^{2}}\right)

Passo 1

O enunciado pede para analisarmos a convergência da série
\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl(\tfrac{1}{n}-\tfrac{1}{n^{2}}\Bigr)
inicialmente usando o teste da razão ou o teste da raiz.

Passo 2

Vamos aplicar o teste da razão. Tomando
\displaystyle a_{n}=\tfrac{1}{n}-\tfrac{1}{n^{2}},
calculamos
L \;=\;\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_{n}} \;=\;\lim_{n\to\infty} \frac{\tfrac{1}{n+1}-\tfrac{1}{(n+1)^{2}}}{\tfrac{1}{n}-\tfrac{1}{n^{2}}} \;=\;1.
Como L=1, o teste da razão é inconclusivo.

Passo 3

Agora o teste da raiz pede
\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_{n}} \;=\;\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\tfrac{1}{n}-\tfrac{1}{n^{2}}} \;=\;1,
o que também não nos dá conclusão.

Passo 4

Em vez disso, usamos o teste da comparação limite com
\displaystyle b_{n}=\tfrac{1}{n}. Calculamos
\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n}}{b_{n}} =\lim_{n\to\infty}\frac{\tfrac{1}{n}-\tfrac{1}{n^{2}}}{\tfrac{1}{n}} =\lim_{n\to\infty}\Bigl(1-\tfrac{1}{n}\Bigr) =1.
Como \sum b_{n}=\sum\tfrac{1}{n} é a série harmônica e diverge, pela comparação-limite a série de a_{n} também diverge.

Resposta

A série diverge.

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