Use o teste da razão ou da raiz e determine se as séries abaixo convergem. Caso este teste não forneça nenhuma conclusão, tente outro teste.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n \ln (n)}{2^{n}}

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n\,\ln(n)}{2^n}
usando o teste da razão (ou da raiz). Se o resultado for conclusivo, já determinamos a convergência; caso contrário, recorreríamos a outro teste.

Passo 2

Definimos a_n = \dfrac{n\,\ln(n)}{2^n}. Vamos aplicar o teste da razão, calculando
\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n} =\lim_{n\to\infty} \frac{\dfrac{(n+1)\ln(n+1)}{2^{n+1}}} {\dfrac{n\,\ln(n)}{2^n}} =\lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{n}\cdot\frac{\ln(n+1)}{\ln(n)}\cdot\frac{1}{2}.
Para n\to\infty, temos \tfrac{n+1}{n}\to1 e \tfrac{\ln(n+1)}{\ln(n)}\to1. Logo o limite é
\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{1\cdot1}{2}=\frac12.

Passo 3

Como o limite da razão é \tfrac12<1, o teste da razão garante que a série converge absolutamente, e portanto converge.

Resposta

A série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n\,\ln(n)}{2^n} converge.

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