Use o teste da razão ou da raiz e determine se as séries abaixo convergem. Caso este teste não forneça nenhuma conclusão, tente outro teste.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2}}{e^{n}}

Passo 1

O enunciado pede para investigar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^{2}}{e^{n}}
usando o teste da razão ou o teste da raiz. O conteúdo é séries numéricas e testes de convergência (especialmente convergência absoluta).

Passo 2

O teste da razão diz que, para a_{n}\neq0, se
L = \lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|
existe e L<1, então a série \sum a_{n} converge absolutamente.

Passo 3

Aqui a_{n}=\frac{n^{2}}{e^{n}}. Vamos calcular
\frac{a_{n+1}}{a_{n}} =\frac{\frac{(n+1)^{2}}{e^{\,n+1}}}{\frac{n^{2}}{e^{\,n}}} =\frac{(n+1)^{2}}{n^{2}}\;\cdot\;\frac{e^{\,n}}{e^{\,n+1}} =\left(\frac{n+1}{n}\right)^{2}\frac{1}{e}.

Passo 4

Agora tomamos o limite quando n\to\infty:
L = \lim_{n\to\infty}\left(\frac{n+1}{n}\right)^{2}\frac{1}{e} =1\cdot\frac{1}{e} =\frac{1}{e}<1.
Como L<1, a série converge absolutamente.

Resposta

A série \sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^{2}}{e^{n}} converge (convergência absolutamente).

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