Usando o teste da integral, determine se as séries abaixo convergem ou divergem.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{\sqrt[3]{n}};

Passo 1

O enunciado pede para determinar, pelo Teste da Integral, se a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2}{\sqrt[3]{n}}
é convergente ou divergente. Para isso, vamos associá-la à integral imprópria de uma função contínua, positiva e decrescente.

Passo 2

Definimos a função
f(x)=\frac{2}{x^{1/3}},
válida para x\ge1. Note que f(x)>0 e que sua derivada é
f'(x)=-\frac{2}{3}\,x^{-4/3}<0\quad\text{para }x\ge1,
logo f é decrescente em [1,\infty).

Passo 3

Aplicamos o Teste da Integral, analisando
\int_{1}^{\infty}\frac{2}{x^{1/3}}\,dx.
Calculamos a primitiva:
\int x^{-1/3}\,dx = \frac{x^{2/3}}{2/3} = \tfrac32\,x^{2/3},
portanto
\int_{1}^{R}\frac{2}{x^{1/3}}\,dx =2\cdot\frac32\bigl(R^{2/3}-1^{2/3}\bigr) =3\bigl(R^{2/3}-1\bigr).
Quando R\to\infty, R^{2/3}\to\infty, então a integral diverge.

Passo 4

Pelo Teste da Integral, se a integral associada diverge, a série
\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2}{\sqrt[3]{n}} também diverge.

Resposta

A série diverge.

Exercícios relacionados