Use o Teste das Séries Alternadas para estimar a soma com um erro menor que 0,001:
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{, n-1} \frac{1}{n^{3}}

Passo 1

O enunciado pede para estimar a soma
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{1}{n^{3}}
usando o Teste das Séries Alternadas (ou Teorema da Estimativa para Séries Alternadas), de modo que o erro da aproximação seja menor que 0{,}001.

Passo 2

Identificamos a série como alternada, com termos de módulo
b_{n} = \frac{1}{n^{3}}.
Para aplicar o teorema precisamos que (b_{n}) seja positiva, decrescente e com \lim_{n\to\infty}b_{n}=0. De fato:
  1. b_{n}>0 para todo n.
  2. b_{n+1}=\frac{1}{(n+1)^3}<\frac{1}{n^3}=b_{n}.
  3. \lim_{n\to\infty}1/n^3=0.

Passo 3

O Teorema da Estimativa para Séries Alternadas garante
\bigl|R_{N}\bigr| = \Bigl|\sum_{n=N+1}^{\infty}(-1)^{n-1}b_{n}\Bigr|\le b_{N+1}.
Queremos b_{N+1}<0{,}001, ou seja,
\frac{1}{(N+1)^3}<0{,}001.
Resolvendo
(N+1)^3>1000\quad\Longrightarrow\quad N+1>10\quad\Longrightarrow\quad N\ge10.

Passo 4

Escolhemos N=10. A aproximação será o somatório parcial
S_{10}=\sum_{n=1}^{10}(-1)^{n-1}\frac{1}{n^{3}}.
Calculando termo a termo:
S_{10} =1-\tfrac{1}{2^3}+\tfrac{1}{3^3}-\tfrac{1}{4^3}+\cdots-\tfrac{1}{10^3} \approx0{,}9011157.

Passo 5

Concluímos que
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{1}{n^{3}}\approx S_{10}=0{,}90112,
com erro garantido menor que b_{11}=1/11^3\approx0{,}00075<0{,}001.

Resposta

\displaystyle 0{,}90112 (com erro menor que 0{,}001).

Exercícios relacionados