O círculo de raio
centrado em
intercepta o círculo de raio
centrado em B em exatamente dois pontos. O que se pode afirmar sobre os raios dos círculos e a distância entre A e B?
Passo 1
O enunciado fala de dois círculos no plano: um de raio
e centro em
, outro de raio
e centro em
. Queremos o caso em que eles se intersectam em exatamente dois pontos. O conteúdo é geometria elemental de posições relativas de círculos, e vamos precisar expressar a distância entre
e
, denotada por
, em relação a
e
.
Passo 2
Denotemos
Para que dois círculos se cortem em dois pontos distintos é preciso que eles se sobreponham parcialmente, sem estarem disjuntos nem um completamente internamente tangente ao outro. Geometricamente isso equivale a duas desigualdades envolvendo
,
e
.
Passo 3
A primeira desigualdade vem de evitar que um círculo fique totalmente fora do outro, o que exigiria
A segunda vem de evitar que um círculo esteja completamente dentro do outro sem tocar, o que exige
Resposta
A condição necessária e suficiente para que os dois círculos se intersectem em exatamente dois pontos é