O círculo de raio r_{1} centrado em A intercepta o círculo de raio r_{2} centrado em B em exatamente dois pontos. O que se pode afirmar sobre os raios dos círculos e a distância entre A e B?

Passo 1

O enunciado fala de dois círculos no plano: um de raio r_{1} e centro em A, outro de raio r_{2} e centro em B. Queremos o caso em que eles se intersectam em exatamente dois pontos. O conteúdo é geometria elemental de posições relativas de círculos, e vamos precisar expressar a distância entre A e B, denotada por d, em relação a r_{1} e r_{2}.

Passo 2

Denotemos
d = AB
Para que dois círculos se cortem em dois pontos distintos é preciso que eles se sobreponham parcialmente, sem estarem disjuntos nem um completamente internamente tangente ao outro. Geometricamente isso equivale a duas desigualdades envolvendo d, r_{1} e r_{2}.

Passo 3

A primeira desigualdade vem de evitar que um círculo fique totalmente fora do outro, o que exigiria
d < r_{1} + r_{2}.
A segunda vem de evitar que um círculo esteja completamente dentro do outro sem tocar, o que exige
d > \lvert r_{1} - r_{2}\rvert.

Resposta

A condição necessária e suficiente para que os dois círculos se intersectem em exatamente dois pontos é
\lvert r_{1} - r_{2}\rvert < AB < r_{1} + r_{2}.

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