Use os testes apropriados para determinar se as seguintes séries convergem ou divergem, verificando cuidadosamente as hipóteses e justificando todas as suas afirmações.
Passo 1
O que o problema pede: determinar se a série
converge ou diverge, justificando cuidadosamente.
converge ou diverge, justificando cuidadosamente.
Informações fornecidas pelo enunciado:
- a soma começa em
;
- o termo geral é
;
- para
temos
, logo os termos são positivos.
Não vamos resolver nada aqui, só deixar claro o que foi pedido e os dados disponíveis.
Passo 2
Escolha do método e explicação do teste (jeito amigável): séries com termos positivos e que envolvem
costumam ser tratadas com o Teste da Integral (ou com o teste de Bertrand/Cauchy condensa-ção). Vou usar o Teste da Integral porque é direto e natural para funções do tipo
.
Enunciado do Teste da Integral (em palavras simples): se existe uma função
contínua, positiva e decrescente em
tal que
para inteiros
, então a série
e a integral imprópria
têm comportamento de convergência equivalente — isto é, ambas convergem ou ambas divergem.
Vou aplicar esse teste tomando a função
e vou verificar as hipóteses: positividade, continuidade e monotonicidade.
Passo 3
Verificação das hipóteses do Teste da Integral.
Positividade: para
temos
, logo
.
Continuidade: para
a função
é contínua e diferente de zero, e a combinação
é contínua. Assim
é contínua em
.
Monotonicidade (decrescente): calculamos
para mostrar que é negativa para
.
Escrevendo
. Usando a regra do produto/derivação:
Simplificando:
Para
temos
, portanto
. Assim o fator fora do parêntese é negativo (tem o sinal “-”), logo
para todo
. Conclusão:
é decrescente em
.
Portanto todas as hipóteses do Teste da Integral estão verificadas.
Passo 4
Cálculo da integral imprópria associada e conclusão.
Consideramos a integral
Fazemos a substituição
. Então
. Quando
temos
; quando
temos
. A integral transforma-se em
Integramos
usando a regra da potência:
Agora avaliamos a integral imprópria:
Como
quando
, o valor da integral é finito:
Portanto a integral convergente implica, pelo Teste da Integral e pelas hipóteses verificadas, que a série
também converge.
(Comentário extra curto e motivador: essa é a mesma ideia do teste de Bertrand — para séries do tipo
a série converge exatamente quando
; aqui
.)
Resposta
Converge.