Use os testes apropriados para determinar se as seguintes séries convergem ou divergem, verificando cuidadosamente as hipóteses e justificando todas as suas afirmações.
\sum_{k=2}^{\infty} \frac{1}{k(\ln k)^{3 / 2}}

Passo 1

O que o problema pede: determinar se a série
\sum_{k=2}^{\infty} \frac{1}{k(\ln k)^{3/2}}
converge ou diverge, justificando cuidadosamente.
Informações fornecidas pelo enunciado:
\; - a soma começa em k=2;
\; - o termo geral é a_k=\dfrac{1}{k(\ln k)^{3/2}};
\; - para k\ge2 temos \ln k>0, logo os termos são positivos.
Não vamos resolver nada aqui, só deixar claro o que foi pedido e os dados disponíveis.

Passo 2

Escolha do método e explicação do teste (jeito amigável): séries com termos positivos e que envolvem \ln k costumam ser tratadas com o Teste da Integral (ou com o teste de Bertrand/Cauchy condensa-ção). Vou usar o Teste da Integral porque é direto e natural para funções do tipo 1/[x(\ln x)^p].
Enunciado do Teste da Integral (em palavras simples): se existe uma função f(x) contínua, positiva e decrescente em [N,\infty) tal que f(k)=a_k para inteiros k\ge N, então a série \sum_{k=N}^{\infty} a_k e a integral imprópria \int_{N}^{\infty} f(x)\,dx têm comportamento de convergência equivalente — isto é, ambas convergem ou ambas divergem.
Vou aplicar esse teste tomando a função
f(x)=\frac{1}{x(\ln x)^{3/2}},\qquad x\ge2,
e vou verificar as hipóteses: positividade, continuidade e monotonicidade.

Passo 3

Verificação das hipóteses do Teste da Integral.
Positividade: para x\ge2 temos \ln x>0, logo \;f(x)=\dfrac{1}{x(\ln x)^{3/2}}>0.
Continuidade: para x>1 a função \ln x é contínua e diferente de zero, e a combinação \dfrac{1}{x(\ln x)^{3/2}} é contínua. Assim f é contínua em [2,\infty).
Monotonicidade (decrescente): calculamos f'(x) para mostrar que é negativa para x\ge2.
Escrevendo f(x)=x^{-1}(\ln x)^{-3/2}. Usando a regra do produto/derivação:
f'(x) = -x^{-2}(\ln x)^{-3/2} + x^{-1}\cdot\left(-\tfrac{3}{2}(\ln x)^{-5/2}\cdot\frac{1}{x}\right).
Simplificando:
f'(x) = -\frac{(\ln x)^{-3/2}}{x^{2}} - \frac{3}{2}\,\frac{(\ln x)^{-5/2}}{x^{2}} = -\frac{(\ln x)^{-5/2}}{x^{2}}\left(\ln x + \tfrac{3}{2}\right).
Para x\ge2 temos \ln x>0, portanto \ln x+\tfrac{3}{2}>0. Assim o fator fora do parêntese é negativo (tem o sinal “-”), logo f'(x)<0 para todo x\ge2. Conclusão: f é decrescente em [2,\infty).
Portanto todas as hipóteses do Teste da Integral estão verificadas.

Passo 4

Cálculo da integral imprópria associada e conclusão.
Consideramos a integral
\int_{2}^{\infty}\frac{1}{x(\ln x)^{3/2}}\,dx.
Fazemos a substituição u=\ln x. Então du=\dfrac{dx}{x}. Quando x=2 temos u=\ln 2; quando x\to\infty temos u\to\infty. A integral transforma-se em
\int_{\ln 2}^{\infty} u^{-3/2}\,du.
Integramos u^{-3/2} usando a regra da potência:
\int u^{-3/2}\,du = \frac{u^{-1/2}}{-\tfrac{1}{2}} = -2\,u^{-1/2} + C.
Agora avaliamos a integral imprópria:
\int_{\ln 2}^{\infty} u^{-3/2}\,du = \lim_{R\to\infty}\left[-2\,u^{-1/2}\right]_{u=\ln 2}^{u=R} = \lim_{R\to\infty}\left(-2 R^{-1/2} + 2(\ln 2)^{-1/2}\right).
Como R^{-1/2}\to0 quando R\to\infty, o valor da integral é finito:
\int_{2}^{\infty}\frac{1}{x(\ln x)^{3/2}}\,dx = 2(\ln 2)^{-1/2} < \infty.
Portanto a integral convergente implica, pelo Teste da Integral e pelas hipóteses verificadas, que a série
\sum_{k=2}^{\infty} \dfrac{1}{k(\ln k)^{3/2}} também converge.
(Comentário extra curto e motivador: essa é a mesma ideia do teste de Bertrand — para séries do tipo \sum 1/(k(\ln k)^p) a série converge exatamente quando p>1; aqui p=\tfrac{3}{2}>1.)

Resposta

Converge.

Exercícios relacionados