Use os testes apropriados para determinar se as seguintes séries convergem ou divergem, verificando cuidadosamente as hipóteses e justificando todas as suas afirmações.
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{k^{2}}{e^{k}}

Passo 1

O enunciado pede que determinemos se a série
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{k^{2}}{e^{k}}
converge ou diverge. Informações dadas e observações imediatas:
  • O termo geral da série é a_{k}=\frac{k^{2}}{e^{k}}.
  • Para todo k\ge 1, a_{k}>0 (pois k^{2}>0 e e^{k}>0).
  • A pergunta é única: decidir convergência (ou divergência) da série, justificando as hipóteses dos testes usados.

Passo 2

Escolha do método: como os termos são positivos e aparecem fatores exponenciais no denominador, o teste da razão (teste de d’Alembert) é muito apropriado — é simples, direto e exige apenas limites básicos. Outros métodos (por exemplo comparação direta com uma série geométrica ou o teste da raiz) também funcionariam, mas o teste da razão costuma ser o mais rápido aqui. Vou usar o teste da razão e vou explicar por que ele vale e como aplicá-lo.

Passo 3

Enunciado do teste da razão (versão para termos positivos) e explicação didática:
  • Seja (a_k)_{k\ge1} uma sequência de termos positivos e considere a série \sum a_k.
  • Definimos
L=\lim_{k\to\infty}\frac{a_{k+1}}{a_k},
quando esse limite existe.
  • Conclusões do teste:
    • Se L<1, a série \sum a_k converge.
    • Se L>1, a série diverge (os termos não tendem a zero suficientemente rápido).
    • Se L=1, o teste é inconclusivo.
      Intuição rápida: quando \frac{a_{k+1}}{a_k} tende a um número L<1, para k grande a sequência de termos se comporta como uma progressão geométrica de razão L, e uma série geométrica com razão menor que 1 converge.

Passo 4

Aplicação do teste da razão ao nosso termo a_k=\frac{k^{2}}{e^{k}}.
Calculo do quociente:
\frac{a_{k+1}}{a_k} = \frac{\dfrac{(k+1)^{2}}{e^{\,k+1}}}{\dfrac{k^{2}}{e^{\,k}}} = \frac{(k+1)^{2}}{e^{\,k+1}}\cdot\frac{e^{\,k}}{k^{2}} = \left(\frac{(k+1)^{2}}{k^{2}}\right)\frac{1}{e}.
Agora tomamos o limite quando k\to\infty. Primeiro note que
\frac{(k+1)^{2}}{k^{2}}=\left(1+\frac{1}{k}\right)^{2}\xrightarrow[k\to\infty]{}1,
porque \frac{1}{k}\to 0. Assim
L=\lim_{k\to\infty}\frac{a_{k+1}}{a_k} = \lim_{k\to\infty}\left(\frac{(k+1)^{2}}{k^{2}}\right)\frac{1}{e} = 1\cdot\frac{1}{e}=\frac{1}{e}.
Como \frac{1}{e}<1 (lembre que e\approx 2{,}718), pelo teste da razão concluímos que a série converge.

Passo 5

Interpretação final e reforço didático:
  • A série converge porque o quociente entre termos sucessivos tende a \frac{1}{e}<1. Isso significa que, para k grande, os termos a_k decrescem aproximadamente como uma sequência geométrica de razão menor que 1.
  • Observação intuitiva geral (útil para prova): exponenciais no denominador vencem qualquer polinômio no numerador — isto é, sequências do tipo \frac{k^{m}}{e^{k}} tendem a zero muito rápido e as séries \sum \frac{k^{m}}{e^{k}} convergem para qualquer inteiro m\ge 0. Isto pode ser mostrado por razão ou por comparação com uma geométrica apropriada.
  • Como os termos são positivos, a convergência que mostramos é, na prática, convergência absoluta (mas aqui não há sinais negativos, então “absoluta” é somente uma observação técnica).

Resposta

A série \sum_{k=1}^{\infty} \dfrac{k^{2}}{e^{k}} converge (convergência absoluta).

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