(2 pontos) Aproxime a função f(x)=2 x^{2} no intervalo [0,1] por um polinômio linear pelo método dos mínimos quadrados (caso contínuo).

Passo 1

Enunciado e o que é pedido.\n
  • A função dada é f(x)=2x^{2} no intervalo [0,1].\n
  • O que nos pedem: aproximar f por um polinômio linear p(x) usando o método dos mínimos quadrados no caso contínuo — isto é, encontrar o polinômio p(x)=a+bx que minimiza a integral do quadrado do erro \int_{0}^{1} (f(x)-p(x))^{2}\,dx.\n
  • Objetivo concreto: determinar os coeficientes a e b do polinômio linear ótimo.

Passo 2

Ideia do método (explicação didática, sem fórmulas pesadas ainda).\n
  • No método dos mínimos quadrados contínuo queremos projetar f no subespaço dos polinômios de grau ≤ 1 (as funções da forma a+bx) usando o produto interno definido por integrais.\n
  • A condição de ótimo (projeção ortogonal) diz que o resíduo r(x)=f(x)-p(x) deve ser ortogonal a todas as funções do subespaço aproximador. Para uma base conveniente desse subespaço (por exemplo as funções 1 e x), isso dá duas equações lineares para a e b.\n
  • Vou transformar essa ideia em equações concretas e resolver.

Passo 3

Escrever o polinômio aproximador e as condições de ortogonalidade.\n
  • Tomamos p(x)=a+bx, com a,b desconhecidos.\n
  • As condições de ortogonalidade são
\int_{0}^{1} (f(x)-p(x))\cdot 1 \,dx = 0
e
\int_{0}^{1} (f(x)-p(x))\cdot x \,dx = 0.
Essas duas equações garantem que o erro é ortogonal às funções 1 e x, respectivamente, e assim p é a projeção de f.

Passo 4

Escrever explicitamente as duas equações usando f(x)=2x^{2} e p(x)=a+bx.\n
  • Primeira equação:
\int_{0}^{1} \bigl(2x^{2} - a - bx\bigr)\,dx = 0.
  • Segunda equação:
\int_{0}^{1} x\bigl(2x^{2} - a - bx\bigr)\,dx = 0.

Passo 5

Calcular as integrais da primeira equação, passo a passo.\n
  • Calculo termo a termo:
\int_{0}^{1} 2x^{2}\,dx = 2\int_{0}^{1} x^{2}\,dx = 2\cdot\left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{1} = 2\cdot\frac{1}{3} = \frac{2}{3}.
\int_{0}^{1} a\,dx = a\int_{0}^{1} 1\,dx = a\cdot 1 = a.
\int_{0}^{1} bx\,dx = b\int_{0}^{1} x\,dx = b\cdot\left[\frac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{1} = b\cdot\frac{1}{2} = \frac{b}{2}.
  • Substituindo na primeira equação:
\frac{2}{3} - a - \frac{b}{2} = 0.
  • Rearranjando:
a + \frac{b}{2} = \frac{2}{3}. \qquad(\text{Equação }(1))çã

Passo 6

Calcular as integrais da segunda equação, passo a passo.\n
  • Calculo termo a termo:
\int_{0}^{1} x\cdot 2x^{2}\,dx = 2\int_{0}^{1} x^{3}\,dx = 2\cdot\left[\frac{x^{4}}{4}\right]_{0}^{1} = 2\cdot\frac{1}{4} = \frac{1}{2}.
\int_{0}^{1} x\cdot a\,dx = a\int_{0}^{1} x\,dx = a\cdot\frac{1}{2} = \frac{a}{2}.
\int_{0}^{1} x\cdot bx\,dx = b\int_{0}^{1} x^{2}\,dx = b\cdot\frac{1}{3} = \frac{b}{3}.
  • Substituindo na segunda equação:
\frac{1}{2} - \frac{a}{2} - \frac{b}{3} = 0.
  • Rearranjando:
\frac{a}{2} + \frac{b}{3} = \frac{1}{2}. \qquad(\text{Equação }(2))çã

Passo 7

Resolver o sistema linear formado por (1) e (2).\n
  • Escrevemos novamente as equações:
\text{(1)}\quad a + \frac{b}{2} = \frac{2}{3},
\text{(2)}\quad \frac{a}{2} + \frac{b}{3} = \frac{1}{2}.
  • Isolamos a pela equação (1):
a = \frac{2}{3} - \frac{b}{2}.
  • Substituímos esse a na equação (2):
\frac{1}{2}\left(\frac{2}{3} - \frac{b}{2}\right) + \frac{b}{3} = \frac{1}{2}.
  • Desenvolvendo os termos:
\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3} - \frac{1}{2}\cdot\frac{b}{2} + \frac{b}{3} = \frac{1}{2}.
\frac{1}{3} - \frac{b}{4} + \frac{b}{3} = \frac{1}{2}.
  • Somando as parcelas em b:
-\frac{b}{4} + \frac{b}{3} = b\left(-\frac{1}{4} + \frac{1}{3}\right) = b\left(\frac{-3+4}{12}\right) = \frac{b}{12}.
  • Assim:
\frac{1}{3} + \frac{b}{12} = \frac{1}{2}.
  • Subtraindo \tfrac{1}{3} de ambos os lados:
\frac{b}{12} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{3-2}{6} = \frac{1}{6}.
  • Multiplicando por 12:
b = 12\cdot\frac{1}{6} = 2.
  • Agora usamos b=2 na expressão de a:
a = \frac{2}{3} - \frac{b}{2} = \frac{2}{3} - \frac{2}{2} = \frac{2}{3} - 1 = -\frac{1}{3}.

Passo 8

Escrever o polinômio aproximador final e comentar brevemente.\n
  • Encontramos a=-\tfrac{1}{3} e b=2.\n
  • Portanto o polinômio linear que aproxima f(x)=2x^{2} no sentido dos mínimos quadrados em [0,1] é
p(x) = -\frac{1}{3} + 2x.
  • Intuição final: esse p(x) é a projeção ortogonal de 2x^{2} no subespaço gerado por 1 e x com o produto interno \langle g,h\rangle=\int_{0}^{1} g(x)h(x)\,dx. Dá para verificar que os resíduos têm média zero e são ortogonais a x.

Resposta

\displaystyle p(x)=-\frac{1}{3}+2x

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