(2 pontos) Aproxime a função
no intervalo
por um polinômio linear pelo método dos mínimos quadrados (caso contínuo).
Passo 1
Enunciado e o que é pedido.\n
- A função dada é
no intervalo .\n - O que nos pedem: aproximar
por um polinômio linear usando o método dos mínimos quadrados no caso contínuo — isto é, encontrar o polinômio que minimiza a integral do quadrado do erro .\n - Objetivo concreto: determinar os coeficientes
e do polinômio linear ótimo.
Passo 2
Ideia do método (explicação didática, sem fórmulas pesadas ainda).\n
- No método dos mínimos quadrados contínuo queremos projetar
no subespaço dos polinômios de grau ≤ 1 (as funções da forma ) usando o produto interno definido por integrais.\n - A condição de ótimo (projeção ortogonal) diz que o resíduo
deve ser ortogonal a todas as funções do subespaço aproximador. Para uma base conveniente desse subespaço (por exemplo as funções e ), isso dá duas equações lineares para e .\n - Vou transformar essa ideia em equações concretas e resolver.
Passo 3
Escrever o polinômio aproximador e as condições de ortogonalidade.\n
- Tomamos
, com desconhecidos.\n - As condições de ortogonalidade são
e
Essas duas equações garantem que o erro é ortogonal às funções
e
, respectivamente, e assim
é a projeção de
.
Passo 4
Escrever explicitamente as duas equações usando
e
.\n
- Primeira equação:
- Segunda equação:
Passo 5
Calcular as integrais da primeira equação, passo a passo.\n
- Calculo termo a termo:
- Substituindo na primeira equação:
- Rearranjando:
Passo 6
Calcular as integrais da segunda equação, passo a passo.\n
- Calculo termo a termo:
- Substituindo na segunda equação:
- Rearranjando:
Passo 7
Resolver o sistema linear formado por (1) e (2).\n
- Escrevemos novamente as equações:
- Isolamos
pela equação (1):
- Substituímos esse
na equação (2):
- Desenvolvendo os termos:
- Somando as parcelas em
:
- Assim:
- Subtraindo
de ambos os lados:
- Multiplicando por 12:
- Agora usamos
na expressão de :
Passo 8
Escrever o polinômio aproximador final e comentar brevemente.\n
- Encontramos
e .\n - Portanto o polinômio linear que aproxima
no sentido dos mínimos quadrados em é
- Intuição final: esse
é a projeção ortogonal de no subespaço gerado por e com o produto interno . Dá para verificar que os resíduos têm média zero e são ortogonais a .