4^a ) Use os testes da razão ou da raiz para decidir se as séries abaixo convergem ou divergem.
iii. sumn=1^infty 4^nn^n;

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a série
sumn=1^infty4^nn^n
converge ou diverge, usando o teste da razão ou o teste da raiz. Aqui vamos usar o teste da raiz, pois cada termo tem potência n tanto em cima quanto embaixo.

Passo 2

O teste da raiz diz que, para an termo geral de uma série, se
L = limntoinfty raiz[n]l|anr|
existe e L<1, então a série converge absolutamente. Se L>1, diverge, e se L=1 o teste é inconclusivo.

Passo 3

No nosso caso
an = 4^nn^n,
então
raiz[n]an = raiz[n]4^nn^n = raiz[n]4^nraiz[n]n^n = 4n
Calculamos o limite:
limntoinfty4n = 0

Passo 4

Como o valor L=0 satisfaz 0<1, pelo teste da raiz a série converge absolutamente, logo converge.

Resposta

A série sumn=1^infty4^nn^n converge.

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