Use a 2^{\text {a }} parte do T.F.C. para calcular as seguintes integrais:
\int_{0}^{1}\left(2^{x}+\sqrt[3]{x^{2}}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{0}^{1}\bigl(2^{x}+\sqrt[3]{x^{2}}\bigr)\,dx
usando a segunda parte do Teorema Fundamental do Cálculo (T.F.C.), ou seja, encontrando antiderivadas e aplicando
\int_{a}^{b}f(x)\,dx = F(b)-F(a).

Passo 2

Vamos achar a antiderivada de 2^{x}. Sabemos que a derivada de 2^{x} é 2^{x}\ln2, logo uma antiderivada de 2^{x} é
F_{1}(x) = \frac{2^{x}}{\ln2}.

Passo 3

Agora encontramos a antiderivada de \sqrt[3]{x^{2}}=x^{2/3}. Como a regra de potência diz que
\int x^{m}\,dx = \frac{x^{m+1}}{m+1},
para m=\tfrac{2}{3} temos
F_{2}(x) = \frac{x^{\frac{2}{3}+1}}{\frac{2}{3}+1} = \frac{x^{5/3}}{\tfrac{5}{3}} = \frac{3}{5}\,x^{5/3}.

Passo 4

Somando as antiderivadas temos
F(x)=F_{1}(x)+F_{2}(x) =\frac{2^{x}}{\ln2}+\frac{3}{5}\,x^{5/3}.
Aplicando a segunda parte do T.F.C. em 0 e 1:
\int_{0}^{1}\bigl(2^{x}+x^{2/3}\bigr)\,dx =F(1)-F(0) =\Bigl(\frac{2^{1}}{\ln2}+\frac{3}{5}\,1^{5/3}\Bigr) -\Bigl(\frac{2^{0}}{\ln2}+\frac{3}{5}\,0^{5/3}\Bigr).
Como 2^{1}=2, 2^{0}=1 e 0^{5/3}=0, fica
\int_{0}^{1}\bigl(2^{x}+x^{2/3}\bigr)\,dx =\frac{2}{\ln2}+\frac{3}{5}-\frac{1}{\ln2} =\frac{1}{\ln2}+\frac{3}{5}.

Resposta

\frac{1}{\ln2}+\frac{3}{5}.

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