Use a 2^{\text {a }} parte do T.F.C. para calcular as seguintes integrais:
\int_{0}^{4}\left(1+3 y-y^{2}\right) d y

Passo 1

O enunciado pede o valor da integral
\int_{0}^{4}\bigl(1+3y - y^{2}\bigr)\,dy
usando a segunda parte do Teorema Fundamental do Cálculo, que afirma que, se F é uma antiderivada de f, então
\int_{a}^{b}f(y)\,dy = F(b) - F(a).

Passo 2

Precisamos encontrar uma antiderivada F(y) de
f(y) = 1 + 3y - y^{2}.
Integrando termo a termo:
\int 1\,dy = y, \quad \int 3y\,dy = \tfrac{3}{2}y^{2}, \quad \int (-y^{2})\,dy = -\tfrac{1}{3}y^{3}.
Logo, uma antiderivada é
F(y) = y + \tfrac{3}{2}y^{2} - \tfrac{1}{3}y^{3}.

Passo 3

Pela segunda parte do T.F.C.,
\int_{0}^{4}\bigl(1+3y - y^{2}\bigr)\,dy = F(4) - F(0).
Calculando:
F(4) = 4 + \tfrac{3}{2}\cdot 4^{2} - \tfrac{1}{3}\cdot 4^{3} = 4 + \tfrac{3}{2}\cdot16 - \tfrac{1}{3}\cdot64 = 4 + 24 - \tfrac{64}{3} = 28 - \tfrac{64}{3} = \tfrac{84 - 64}{3} = \tfrac{20}{3},
e
F(0) = 0 + 0 - 0 = 0.

Resposta

\int_{0}^{4}\bigl(1+3y - y^{2}\bigr)\,dy = \tfrac{20}{3}.

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